Способи описання руху (стр. 5 )

где t1 и t2 - время, отсчитываемое по часам системы K.

14.Перетворення Лоренца

Преобразовамниями Ломренца в физике, в частности в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты (x, y,z, t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Аналогично преобразованиям Лоренца при таком переходе подвергаются координаты любого 4-вектора.

Чтобы явно различить преобразования Лоренца со сдвигами начала отсчёта и без сдвигов, когда это необходимо, говорят о неоднородных и однородных преобразованиях Лоренца.

Преобразования Лоренца без сдвигов начала отсчёта образуют группу Лоренца, со сдвигами — группу Пуанкаре, иначе называемую неоднородной группой Лоренца.

С математической точки зрения преобразования Лоренца — это преобразования, сохраняющие неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (другими словами преобразования Лоренца — это аналог для метрики Минковского ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, то есть аналог поворота координатных осей для пространства-времени). В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.

Именно преобразования Лоренца, смешивающие — в отличие от преобразований Галилея — пространственные координаты и время, исторически стали основой для формирования концепции единого пространства-времени.

Следует заметить, что лоренц-ковариантны не только фундаментальные уравнения (такие, как уравнения Максвелла, описывающее электромагнитное поле, уравнение Дирака, описывающее электрон и другие фермионы), но и такие макроскопические уравнения, как волновое уравнение, описывающее (приближенно) звук, колебания струн и мембран, и некоторые другие (только тогда уже в формулах преобразований Лоренца под c следует иметь в виду не скорость света, а какую-то другую константу, например скорость звука). Поэтому преобразования Лоренца могут быть плодотворно использованы и в связи с такими уравнениями (хотя и в довольно формальном смысле, впрочем, мало отличающемся — в своих рамках — от их применения в фундаментальной физике). Пусть система движется относительно системы со скоростью ; аналогично, система движется относительно со скоростью . Фактически, релятивистский закон сложения скоростей определяет относительную скорость того движения, в котором наблюдатель сам не участвует. Скорость движения системы относительно определится так:

(1.5)

15. Релятивістський інтервал

Хотя геометрия пространства-времени не обычная (не евклидова), тем не менее эта геометрия очень похожа на евклидову, но в некоторых отношениях весьма своеобразная. Если это представление о геометрии правильно, то должны существовать такие функции координат и времени, которые не зависят от системы координат. К примеру, при обычных вращениях, если взять две точки, одну для простоты в начале координат обеих систем, а другую в любом другом месте, то в обеих системах координат расстояние между точками будет одинаково. Это первое свойство точек, которое не зависит от частного способа измерения: квадрат расстояния, или x2+y2+z2, не меняется при поворотах. А как с пространством-временем? Не трудно показать, что и здесь есть нечто, не зависящее от способа измерения, а именно комбинация c2t2 - x2 - y2 - z2 одинакова до и после преобразования

Поэтому эта величина, подобно расстоянию, «реальна» в том смысле, который был придан этому слову выше; ее называют интервалом между двумя пространственно-временными точками, одна из которых в этом случае совпадает с началом координат. (Точнее говоря, это не интервал, а квадрат интервала, точно так же как и x2+y2+z2 — квадрат расстояния.) Это название подчеркивает различие в геометриях; обратите внимание, что в формуле присутствует с, а некоторые знаки обращены.

16. Релятивістський імпульс

Уже на нашей памяти закон сохранения импульса претерпел некоторые изменения. Они, однако, не коснулись самого вакона как такового, просто изменилось понятие импульса. В теории относительности, как оказалось, импульс уже не сохраняется, если его понимать так же, как и прежде. Дело в том, что масса не остается постоянной, а изменяется в зависимости от скорости, а потому изменяется и импульс. Это изменение массы происходит по закону

где m0— масса покоящегося тела, с — скорость распространения света. Из этой формулы видно, что при обычных скоростях (если v не очень велико) m очень мало отличается от m0, а импульс поэтому с очень хорошей точностью выражается старой формулой.

Компоненты импульса для одной частицы можно записать в виде

где v2 = v2x + v2y + v2z. Если просуммировать x-компоненты импульсов всех взаимодействующих частиц, то эта сумма как до столкновения, так и после окажется одной и той же. Это и есть закон сохранения импульса в направлении оси х. То же можно сделать и в любом другом направлении. Неверными оказались уравнение Ньютона f = ma и все его выводы закона сохранения импульса, тем не менее в квантовой механике в конце концов этот закон продолжает действовать!

Свыше двухсот лет считалось, что уравнения движения, провозглашенные Ньютоном, правильно описывают природу. Потом в них была обнаружена ошибка. Обнаружена и тут же исправлена. И заметил ошибку, и исправил ее в 1905 г. один и тот же человек — Эйнштейн.

Второй закон Ньютона, выражаемый уравнением

безмолвно предполагал, что m— величина постоянная. Но теперь мы знаем, что это не так, что масса тела возрастает со скоростью. В формуле, исправленной Эйнштейном, m появилась в таком виде:

17.Робота і КЕ в СТО

В предыдущем параграфе мы подробно выяснили понятие релятивистского импульса. Как помнит читатель, основой служили нам законы упругого удара. Но рассмотрения этих законов одновременно дает и формулу кинетической энергии; оказывается, что она имеет вид

Чтобы показать, что при малых скоростях она совпадает с классической, нужно воспользоваться все той же приближенной формулой. Тогда мы получим

в полном согласии с ньютоновской механикой. Вспомнив формулу релятивистской массы, мы можем перевисать выражение для кинетической энергии в виде
Т=с2 (т — m0).
Значит, кинетическая энергия равна просто-напросто избытку массы тела над массой покоя, умноженному на квадрат скорости света.
То, что кинетическая энергия каким-то образом связана с релятивистской массой, не представляется удивительным, ведь с ростом скорости растет как масса, так и энергия. Но такое простое соотношение заставляет сделать далеко идущие выводы.
Для этого рассмотрим явление неупругого удара» Пусть два тела с одинаковыми массами покоя т0 движутся с равными скоростями и навстречу друг другу. Столкнувшись, они образуют новое тело с массой покоя Мо, которое будет неподвижно. Согласно закону сохранения массы, величина Мо будет равна сумме релятивистских масс обоих тел до столкновения

Масса покоя нового тела больше суммы масс покоя его составных частей. Кинетическая энергия до столкновения равна
Т = 2с2*(т — т0)=с2 (т0 — 2т0);
после столкновения кинетическая энергия равна нулю. Но кроме закона сохранения массы существует, как известно, закон сохранения энергии. Кинетическая энергия не пропала; она перешла в другой вид энергии (например, в тепло). Если мы через Ео обозначим суммарную внутреннюю энергию, частью которой является тепловая энергия обоих тел до столкновения, а внутреннюю энергию нового тела — через Е, то, очевидно,
E - E0 = T,
или
E - E0 = c2(M0 - 2m0).
Таким образом, приращение внутренней энергии оказывается равным приращению массы покоя, умноженному на с2.