Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Погорельская основная общеобразовательная школа
Разработка открытого урока
по математике в 9 классе
на тему :
«Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии»
Учитель математики :
Ермакова
Светлана
Александровна
2012-2013 учебный год
План – конспект
открытого урока по математике
Тема: Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии
Класс: 9
Цель урока: усвоение формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии
Задачи :
- формирование знаний и первичное закрепление умений по теме «Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии» развитие навыков логического мышления; развитие вычислительных навыков; развитие умений обобщать и конкретизировать знания при решении заданий. воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов; воспитание наблюдательности.
Тип урока: Урок изучения новых знаний.
Место урока в учебном плане: урок первый.
Технологии обучения: урок-лекция, проблемное.
Формы организации учебной деятельности: Индивидуальная, фронтальная
Оборудование урока: компьютер и мультимедийное оборудование.
Методическое сопровождение: компьютерная презентация.
ПЛАН УРОКА
Блоки | Этапы урока | Время |
1 |
| 10 мин. |
2 | Основная часть:
| 25 мин. |
3 | Домашнее задание и рекомендации по его выполнению | 2 мин. |
4 | Подведение итогов урока: - выполнение Теста - достижения - рефлексия | 8 мин. |
Урок начинается с постановки задач перед учащимися. В беседе учитель акцентирует внимание на том, что материал урока дает им возможность развивать умения находить закономерности, применять полученные знания при решении нестандартных задач. Учащимся сообщается план проведения урока
1) Устная работа
. Вопросы
- Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Какая последовательность называется геометрической прогрессией?
- В третьем тысячелетии високосными годами являются 2008, 2012 ,2016, 2020 продолжите, в какой последовательности записаны года? У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышек, каждая мышь съедает по семи колосьев ячменя, из каждого колоса может вырасти по семи мер ячменя. Как велики числа этого ряда?
2) Работа на знание формул арифметической и геометрической прогрессий, изученных ранее.
an = a1 | Sn= | d= an+1 - an |
bn= b1qn-1 | q= | Sn= |
+d(n-1)
n
nУчитель:
- Формула n-го члена арифметической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии Формула для нахождения разности арифметической прогрессии Формула для нахождения знаменателя геометрической прогрессии
II. Изучение нового материала
1. Историческая справка
Индийский царь Шерам, впервые познакомившись с шахматами, восхитился их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что замечательную игру изобрёл его подданный Сета, царь призвал к себе мудреца, желая лично наградить за выдумку. Властелин обещал выполнить любую его просьбу и был удивлен, когда тот попросил лишь некоторое количество пшеничных зёрен. На первое поле доски он попросил положить одно зерно, на второе – два и так далее: на каждое последующее поле нужно было класть вдвое больше зерен, чем на предыдущее. Царь распорядился побыстрее выдать изобретателю его ничтожную награду. Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что для выполнения его приказа не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах всего царства, но и во всех амбарах мира. Мудрец скромно потребовал
1 + 2 + 22 + … + 263 = 264 - 1 зерно. Это число записывается двадцатью цифрами и фантастически велико.
18 квинтиллионов 446 квадриллионов
744 триллиона 73 миллиарда
709 миллионов 551 тысяча 615 зерен
2. Актуализация новых знаний.
Вывод формулы :
Пусть дана геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму п-первых её членов через Sn:
Sn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn. (1)
Умножим обе части этого равенства на q:
Snq=b1q+b2q+b3q+…+bn-1q+bnq.
Учитывая, что b1q=b2, b2q=b3, b3q=b4, …, bn-1q=bn,
Получим Snq=b2+b3+b4+…+bn+bnq. (2)
Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведём подобные члены:
Snq – Sn=(b2+b3+…+bn+bnq) – (b1+b2+…+bn-1+bn)=bnq – b1.
Sn(q – 1)=bnq – b1.
Отсюда следует, что при q ≠ 1
. (I)
Мы получили формулу суммы п первых членов геометрической прогрессии, в которой q ≠ 1. Если q=1, то все члены прогрессии равны первому члену и Sn=nb1.
При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы п первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо bn выражение b1qn – 1. Получим:
, если q ≠ 1. (II)
3.Закрепление нового материала.
Учитель
1) 1 задача :Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии (bn), которой b1=3 и q=
.
Т. к. известны первый член и знаменатель прогрессии, то удобно пользоваться формулой (II). Получим:
2) Решение задач (самостоятельно ) :
Учитель раздает каждой группе задачи и объясняет задание.
1 вариант | 2 вариант |
1) b1=2 и q=2.Найти S | 1) b1=3 и q= -2. Найти S |
2) Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320? q=2 | 2) Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после их десятикратного деления, если первоначально было 6 клеток.
|
, 
, 
, q=2
клетки делились 10 раз, значит надо найти 
Ответы
1 вариант | 2 вариант |
1) Отв: 30 | 1)Отв:-15 |
2) Отв 5 | 2) Отв: 6144 |
Перед вами задачи. Обсуждаем решение 2-ых задач. В течение 5 минут обсуждается задачи и предлагаютсярешения. Записывается решение задачи в тетради. Можно сделать к задаче пояснительную схему.
4.Физкультминутка.
Гимнастика для глаз.
Я буду называть последовательность. Если арифметическая прогрессия, то а поднять обе руки, если геометрическая прогрессия, то встаем 1 раз.
1) 1,2,3, 4, ...
2) 5, 25, 125, 625,..
3) 1, 3, 8, 10, ...
4) 2. 4, 8, 16, 32,..
III. Д/З Карточка с тестами
«3» | «4» | «5» |
1. b3 =12, b5 =48 q-? A) 4 Б) -4;4 В) -2 Г) -2;2 | b4 =25, b6 =16 q-? A) Б) В) Г) | b12 =315, b14 =317 q-? A) 9 Б) -9;9 В) -3 Г) -3;3 |
2. Изданных геометрических прогрессий выберите ту, среди которой есть число 5. а) an = -3n б) an = 3n в) 3*2n-1 г) an = 2*3n-1 | 2. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них геометрическая прогрессия. Укажите а) 1; б) 1;3;5;7;… в) 1;2;4;8;… г) 1;2;3;5;… | 2. В геометрической прогрессии b5=12 b7 =27 b6 -? а) 19,5 б) 25 в) 18 г) 36 |
3. b1=64, q=2 S5-? а)64 б) 1984 в) 128 г) 192 | 3. b1 =10, q= а)187,5 б) 16,75 в) 18,75 г) -18,75 | 3. b1=3 а) б) в) г) 21 |
;
;
…
S4-?
, q=
S6-?
Ответы тестов
3 | 4 | 5 |
1) Г | 1)Г | 1) Г |
2) Б | 2)В | 2)В |
3)Б, | 3) В | 3) В |
IV. Итог урока. Учитель подводит итоги урока, выставляет оценки.
Литературные источники, использованные при подготовке к уроку:
, . , с. Б Суворова ; под ред. . Алгебра. Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений. Москва. «Просвещение» 2008 г. Математика 9кл. Подготовка к ГИА-2013: учебно-методическое пособие/ Под редакцией . – Ростов-на–Дону:Легион,2012.- 288с.
