Реферат по дисциплине: алгебра и начала анализа; геометрия по теме: Факториал

Томский техникум железнодорожного транспорта –

Филиал СГУПС

Реферат

по дисциплине: алгебра и начала анализа; геометрия

по теме: Факториал.

Студент:

Группа: 553 ТТЖТ

Преподаватель:

Томск

2016

Содержание

Что такое факториал? Операция факториалов и появление его в положительных рядах

2.1) Джеймс Стирлинг

2.2) Научная деятельность Джеймса Стирлинга

2.3) Абрахам де Муавр

2.4) Научная деятельность Абрахама де Маувра

3) Свойство факториалов

3.1) Рекуррентная формула

3.2) Комбинаторная интерпретация

3.3) Связь с гамма-функцией

3.4) Формула Стирлинга

3.5) Разложение на простые числа

3.6) Связь с производной от степенной функции

3.7) Другие свойства

4) Двойной факториал

5) Кратный факториал

6) Неполный факториал

6.1) Убывающий факториал

6.2) Возрастающий факториал

Что такое факториал?

Факториамл числа n (лат. Factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториамл) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Например:

.

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так[1]:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

2)  Операция факториалов и появление его в положительных рядах

2.1)  Джеймс Стирлинг

Джеймс Стирлинг (англ. JamesStirling, май 1692—5  декабря 1770) — шотландский математик.

Джеймс Стирлинг родился в неспокойное время. Четырьмя годами раньше был свергнут король Яков II, он же Яков VII Шотландский. В 1707 году Шотландия была присоединена к Англии. Когда Джеймсу было около 17 лет, его отец был арестован как якобит (сторонник свергнутого монарха) и обвинён в государственной измене. Суд его оправдал. Мятежи якобитов продолжались ещё долгое время.

Образование Стирлинг получил в Оксфорде, затем, вероятно, в Глазго. Получить диплом ему мешало то, что при этом надо было непременно принести присягу английской королеве; Стирлинг категорически отказался делать это. Теперь уже угроза ареста нависла над ним самим. Стирлинг уезжает в Италию, где живёт до 1722 года.

В Италии начинается научная деятельность Стирлинга. Он публикует работу «Ньютоновские кривые третьего порядка», где изучает алгебраические кривые 3-й степени, уже исследованные Ньютоном. Стирлинг обнаружил 4 новых типа этих кривых, не замеченных великим аналитиком. В этой же работе доказан ряд теорем, высказанных Ньютоном без доказательства, изучаются кривая скорейшего спуска и цепная линия, решается лейбницевская задача об ортогональных траекториях. Стирлинг выяснил, что алгебраическая кривая n-го порядка определяется своими n(n+3)/2 точками.

2.2 Научная деятельность

1724: Стирлинг приезжает в Лондон, работает преподавателем. Ведёт активные математические исследования. 1726: по рекомендации Ньютона, данной им незадолго до смерти, Стирлинг избран членом Королевского общества. 1730: опубликован главный труд Стирлинга, «Дифференциальные методы» (MethodusDifferentialis). Это один из первых содержательных учебников по математическому анализу, излагающий помимо основ анализа немало личных открытий Стирлинга. Среди тем книги: бесконечные ряды, их суммирование и ускорение сходимости, теория интегрирования (квадратуры), интерполирование, свойства гамма-функции, асимптотические представления. Одно из таких представлений, несколько преобразованное де Муавром, известно сейчас как формула Стирлинга. Некоторые детали исследований Стирлинга можно почерпнуть из его переписки с де Муавром, Эйлером и Крамером. 1733: ещё один важный труд Стирлинга: «Двенадцать предложений о фигуре Земли». 1735: Стирлинг возвращается в Шотландию, куда приглашён управлять горной компанией. Административная работа хорошо ему даётся и хорошо оплачивается, но свободного времени практически нет. Единственная опубликованная его работа за этот период касается проблем шахтной вентиляции. На этой должности он оставался до конца жизни.

2.3 Абрахам де Муавр

Родился во Франции, в недворянской семье врача-гугенота; частицу де перед своей фамилией он добавил по собственной инициативе. В 11 лет поступил в Протестантскую академию в Седане, где успел проучиться 4 года, после чего академия была запрещена властями (1682). Муавр продолжил образование в Сомюре (2 года). Вероятно, в это время он познакомился с теорией вероятностей по трудам Гюйгенса. Далее около года Муавр слушал лекции по физике и математике в Париже (в том числе у Озанама), но в 1685 году Людовик XIV официально отменил Нантский эдикт, возобновились притеснения протестантов, а сам Муавр попал в тюрьму. Подробности его заключения неизвестны, но так или иначе, он вынужден был покинуть родину.

2.4 Научная деятельность

Открыл (1707) формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Он первый стал использовать возведение в степень бесконечных рядов. Муавр также установил связь между рекуррентными последовательностями и разностными уравнениями. Внёс вклад в теорию решения однородных линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Ему и Дж. Стирлингу принадлежит асимптотическое представление факториала, носящее название формулы Стирлинга. Помимо анализа, Муавр внёс большой вклад в теорию вероятностей. Доказал частный случаи теоремы Лапласа. Провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению. Кроме нормального, он использовал равномерное распределение. Большинство результатов де Муавра были вскоре перекрыты трудами Лапласа; степень возможного влияния де Муавра на Лапласа неясна.

3) Свойства Факториалов

3.1 Рекуррентная формула

3.2 Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A, B,C, D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC

ABDC  BADC  CADB  DACB

ACBD  BCAD  CBAD  DBAC

ACDB  BCDA  CBDA  DBCA

ADBC  BDAC  CDAB  DCAB

ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.

3.3 Связь с гамма-функцией

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

.

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

3.4 Формула Стирлинга

Основная статья: Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

100! ≈ 9,33Ч10157; 1000! ≈ 4,02Ч102567; 10 000! ≈ 2,85Ч1035 659.

3.5 Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

3.6 Связь с производной от степенной функции

Для целого неотрицательного числа n:

Например:

3.7 Другие свойства

Для натурального числа n:

4) Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

Для чётного n:

Для нечётного n:

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

Для чётного n:

Для нечётного n:

Выведение формул

Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где — целое неотрицательное число, получим:

для чётного числа:

для нечётного числа:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так[3]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

5) Кратный факториал

m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде где Тогда[4]

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением[5]:

6) Неполный факториал

6.1) Убывающим факториалом называется выражение

.

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

3k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

6.2)Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение