ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Сп. «Математика», 1 семестр 2008/2009 учебного года
Векторы: определение вектора, коллинеарные и компланарные векторы, равные векторы, свободный вектор, угол между двумя векторами. Линейные операции над векторами. Проекции векторов. Линейно зависимые и независимые векторы. Линейная зависимость двух, трех, четырех векторов. Векторные пространства. Системы координат на прямой, плоскости, в пространстве. Координаты вектора в данном базисе. Выражение линейных операций над векторами в координатной форме. Задача о делении направленного отрезка в данном отношении. Задача, определяющая расстояние между двумя точками. Скалярное произведение векторов, его свойства, выражение через координаты.Направляющие косинусы вектора.
Векторное произведение векторов, его свойства, выражение координат векторного произведения через координаты данных векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства. Выражение через координаты векторов. Геометрический смысл смешанного произведения. Задание прямой на плоскости, уравнения прямой на плоскости. Частные случаи общего уравнения прямой на плоскости. Положение прямой относительно системы координат в частных случаях её общего уравнения. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Геометрический смысл неравенств Ах + Ву + С > 0, Ах + Ву + С < 0 (Ах + Ву + Сz + D > 0 , Ах + Ву + Сz + D < 0). Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми на плоскости. Задание прямой в пространстве. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых. Задание плоскости и уравнения плоскости. Условие компланарности вектора плоскости. Нормальный вектор плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости. Положение плоскости относительно системы координат в частных случаях её общего уравнения. Взаимное расположение двух плоскостей. Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Угол между двумя прямыми в пространстве. Угол между двумя плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Переход от одного аффинного репера к другому на плоскости и в пространстве. Частные случаи. Переход от одного ортонормированного репера к другому ортонормированному реперу на плоскости и в пространстве. Частные случаи. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Его свойства. Форма. Эксцентриситет. Фокальный параметр. Фокальные радиусы. Параметрические уравнения эллипса. Построение точек эллипса. Гипербола. Каноническое уравнение. Свойства. Форма. Эксцентриситет. Фокальный параметр. Фокальные радиусы. Директрисы эллипса и гиперболы. Парабола. Каноническое уравнение. Свойства. Форма. Эксцентриситет. Фокальный параметр. Уравнение касательной к эллипсу (гиперболе, параболе). Уравнение эллипса, ветви гиперболы, параболы в полярных координатах.