Актуальные вопросы современного естествознания (стр. 5 )

M. Kh. Ligidov

Kabardino-Balkarian State University, Nalchik

Abstract. The compound of divinil elastomers at different correlations of components by method of radiothermoluminescent were investigated. It was shown, that polymers are thermodynamics compatible. In high elastic condition the integral curve of lightning was found, which is conditioned by annihilation of active centre by destruction of well regulated microfields (clusters) with increase of temperature.

УДК 519.633.6

О сходимости разностных схем для нагруженных дифференциальных уравнений

-Лафишев,

Кабардино-Балкарский государственный университет, Нальчик

Институт информатики и проблем регионального управления КБНЦ РАН, Нальчик

В работе получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках для решения некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений, откуда следует устойчивость и сходимость разностных схем.

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Рассмотрим первую краевую задачу для стационарного нагруженного уравнения диффузии

       ,        (1)

               (2)

где x0 – фиксированная точка интервала (0,1).

Будем считать, что коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям гладкости, , где – класс функций, имеющих непрерывные на [0,1] производные до порядка n включительно. Сначала получим априорную оценку для решения задачи (1)-(2). Для чего умножим уравнение (1) скалярно на u:

       ,        (3)

       .

Из тождества (3), с учетом граничных условий (2), легко получаем

       .        (4)

Так как

       ,

то из неравенства (4) находим

,

или при

       .        (5)

Чтобы оценить через L2 норму , запишем представление

       ,        (6)

где – функция Грина оператора , .

Из представления (6) находим

       .        (7)

В силу того, что , из (7) получаем

       , .        (8)

Из оценок (5) и (8) очевидно следует оценка

       ,        (9)

где M(c1,c2,c3) – известное число.

Аналогично, методом энергетических неравенств, используя оценки (8) и (9), легко получить априорную оценку

       ,        (10)

где .

2. Разностная схема

На отрезке [0,1] введем равномерную сетку , h = 1/ N. Дифференциальной задаче (1)-(2) поставим в соответствие разностную схему (см. [1], [2])

       , ,        (11)

        , , , .        (12)

Умножим уравнение (11) скалярно на y:

       ,         (13)

       , .

Оценим слагаемые, входящие в тождество (13):

       , ,         (14)

       , ,

       .

Запишем представление

       ,         (15)

где – разностная функция Грина (см.[1]).

С помощью представления (15) получаем систему алгебраических уравнений относительно неизвестных :

               (16)

Из системы (15) находим

                (17)

                (18)

Так как , (см. [1]), то из (17), (18) следует

       , ,         (19)

где M зависит от c1, c2.

Подставляя (14), (19) в тождество (13), при соответствующем выборе , находим

       .         (20)

Умножая уравнение (11) скалярно на и используя уже полученную оценку , находим

       .         (21)

Обозначим через . Тогда для погрешности z имеем задачу

       , , .         (22)

Применяя оценку (20), (21) к решению задачи (22), получаем , .