Актуальные вопросы современного естествознания (стр. 6 )

3. Уравнение диффузии с конвекцией

В замкнутой области для параболического уравнения рассмотрим задачу

                (23)

        ,         (24)

               (25)

где  , , ,  , – фиксированные точки : .

Задачи вида (23)-(25) возникают при изучении движения подземных вод [3], в задачах управления качеством водных ресурсов и нормирования антропогенных воздействий [4].

Предполагая существование решения задачи (23)-(25), сначала получим для её решения априорную оценку. Для чего умножим уравнение (23) скалярно на u:

                (26)

       , .

Преобразуем каждое слагаемое тождества (26) с учетом граничных условий (24):

       

       

               (27)

       

       

Подставляя (27) в тождество (26), находим

,        (28)

где , - некоторое положительное число, зависящее от . Проинтегрируем (28) по от 0 до , затем к полученному неравенству применим известную лемму 1.1 из [5]. Тогда при малом получим оценку

                (29)

где - некоторая постоянная зависящая от . Из оценки (29) следует единственность решения задачи (23)-(25) и непрерывная зависимость от правой части и начальных данных в норме .

4. Построение разностной схемы

Построим в сетку , ,

        .

Будем считать, что шаг сетки h меньше половины длины наименьшего из сегментов (см. [2]).

Начально-краевой задаче (23)–(25) поставим в соответствие разностную схему с направленными разностями [1]:

        ,         (30)

       , ,        (31)

где , , – разностное число Рейнольдса, , , , , , , , , , , , , – шаги сетки по временной и пространственной координатам.

Погрешность аппроксимации в классе достаточно гладких коэффициентов, в силу построения оператора , равна (см.[1]).

5. Устойчивость и сходимость разностной схемы

Для схемы (30)–(31) не справедлив принцип максимума, поэтому получить априорную оценку для ее решения в равномерной метрике не удается. Здесь мы будем пользоваться методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (31) скалярно на :

               (32)

       .

Преобразуем суммы, входящие в тождество (32):

         ,

       , , ,

       ,        (33)

       ,  ,

       , , ,

       , ,

       ,  .

Подставляя оценки (33) в тождество (32), при малом находим

       ,        (34)