Актуальные вопросы современного естествознания (стр. 7 )

где - постоянная зависящая от , .

Просуммируем (34) по от 0 до j:

       .        (35)

Из оценки (35) при достаточно малом , находим априорную оценку

       ,        (36)

где M > 0 – постоянная, не зависящая от h и τ.

Из оценки (36) следует

Теорема. Пусть выполнены условия , , , , , , . Тогда, если решение задачи (23)-(25) достаточно гладкое, то при малом решение разностной задачи (30)-(31) сходится к решению задачи (30)-(31) в смысле нормы , на слое со скоростью .

6. Нагруженные уравнения диффузии в многомерной области

В цилиндре , основанием которого служит p-мерный параллелепипед , с границей Г рассматривается задача

       ,        (37)

       ,        (38)

       ,        (39)

где, , – фиксированные точки интервала ,

       , ,

       

С помощью выбора коэффициентов можно регулировать интенсивность источников (стоков) в точках .

Сначала для решения задачи (37)-(39) получим априорную оценку. Введем скалярное произведение .

Умножим уравнение (1) скалярно на u:

       .        (40)

Преобразуем интегралы, входящие в тождество (40):

       ,        (41)

       ,        (42)

       ,        (43)

       

               (44)

где ,

       .

Интеграл в правой части (44) оценим с помощью теоремы вложения (см. например, [5])

       ,        (45)

где - некоторая постоянная, зависящая от , .

После интегрирования (45) по области и суммирования по от 1 до p будем иметь

       ,        (46)

       .        (47)

Подставляя (41)-(43), (46), (47) в тождестве (40), находим

       ,        (48)

       .

Выберем , тогда из (48) получаем

       .        (49)

Проинтегрируем (49) по от 0 до t:

       .        (50)

Применяя лемму 1.1, из [1] получаем априорную оценку

       .        (51)

Из оценки (51) следует единственность решения задачи (37)-(39).

Разобьем - мерное пространство переменных -мерными гиперплоскостями , , , на p-мерные параллелепипеды. Вершины этих параллелепипедов будем называть узлами сетки. Множество узлов, принадлежащих открытой области назовём внутренними узлами и обозначим через .

Множество узлов, принадлежащих границе , назовём граничными узлами .

Краевой задаче (37)-(39) поставим в соответствие разностную схему с направленными разностями (см. [1], [2], [7])

       ,        (52)

       , ,        (53)

где ,

       

При аппроксимации нагруженной части уравнения (37) мы воспользовались результатами работы [2].

Устойчивость и сходимость схемы будем доказывать методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (52) скалярно на :

       ,        (54)