Материал для дистанционного обучения «Определение производной, ее физический и геометрический смысл»

СПб ГОУ СПО «КОР №1»

Материал для дистанционного обучения

«Определение производной, ее физический и

геометрический смысл»

  Учитель:

Санкт-Петербург

2012-2013 уч. год

Определение производной, ее физический и

геометрический смысл.

Определение. Производной функции  по аргументу х, называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента  , когда стремится к нулю.

.

Так как мгновенной или истинной скоростью называется  предел, к которому стремится,

когда интервал времени, на котором она измеряется, стремится к нулю, т. е. . Следовательно, физический смысл производной состоит в том, что производная есть скорость изменения данной функции.

  Рассмотрим график произвольной функции :

Если ,то Прямая касательной б

  Следовательно, геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной проведенной к графику функции в эту точку.

  Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

  Для нахождения производной от данной функции необходимо провести следующие действия: 1) дать аргументу x приращение , вычислить наращенное значение функции ;2)найти соответствующее приращение функции:;3) составить отношение приращения функции к приращению аргумента:;4) найти предел данного отношения при  .

  Вычислим производные от некоторых элементарных функций.

  1. Производная постоянной равна нулю, т. е. если y=C, где C=const, то .

  док-во: y=C, следовательно, при любом значении x

2. , то

Доказательство:

Домножим и разделим на x выражение, стоящее в правой части последнего равенства:

Обозначим величину через б. Очевидно, что при и данном x. Следовательно:

т. к.

.  ч. т.д.

Доказывая аналогичными способами можно вывести производные всех элементарных функций.

Таблица производных элементарных функций:

1.   6.

  2.   7.

  3.

  4.  8.

  5.  9.

Приведем примеры вычисления производных:

; ; ; ; , следовательно к таблице производных необходимо добавить производную линейной функции:

  Правила дифференцирования.

Теорема 1. Постоянный множитель выносится за знак производной.

Доказательство:

ч. т.д.

Теорема 2.

Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна соответствующей сумме производных этих функций.

Теорема 3.

Производная от произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную от второй, т.е. если

Теорема 4.

  Производная частного равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя исходной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателю, т. е.

если , то .

Теорема 5.

  Если функция , имеет в некоторой точке х производную , а функция

имеет при соответствующем значении  U производную  , тогда сложная функция

в указанной точке х, также имеет производную, которая равна

  Приведем несколько примеров нахождения производных:

Пример 1. 

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5. 

Пример 6.

Пример 7.

Пример 8.

Пример 9.

Если вы смогли разобраться как берутся производные, попробуйте сами отработать тренажеры по взятию производной.

Найдите производную функции :  Найдите производную функции:

1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.
12.	12.

Найдите производную функции:  Найдите производную функции:

Применение производной.

  Одним из основных направлений применения производной является исследование поведения функций. Сформулируем необходимые для этого теоретические положения.

  Первый признак существования экстремума: пусть функция   непрерывна в некотором интервале содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала. Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при   функция имеет максимум. Если же при переходе через точкуслева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

  Второй признак существования экстремума: Если первая производная в точке равна нулю, а вторая производная отрицательна, то при функция имеет максимум. Если вторая производная положительна, то минимум.

  Пример: исследовать на экстремумы функцию

  +  max  -  min  +

  ---------------.---------------.---------------------------

  0    2/5 

Так как при х=0 производная не существует, эта точка также является критической. Точка х=0 является точкой максимума функции, а точка   точкой минимума функции.

  Пример:   Исследовать функцию на экстремумы.

  Исследуем эту функцию на экстремумы на отрезке, так как она периодическая с периодом 2р.

  Решая уравнение, или, находим критические точки Находим вторую производную:

С помощью теории максимума и минимума решаются многие задачи геометрии, механики, биомеханики.

Если вы смогли разобраться, как решаются задачи на применение производной попробуйте выполнить следующие задания:

Найдите экстремумы функций:

Связь свойств функции и производной

Укажите, какому свойству удовлетворяет функция y(x) на отрезке [1;3], если задана ее производная

Свойство  функции ---------------------- Производная	Возрастает	Имеет максимум	Имеет минимум	Постоянна	Убывает

Укажите, какому свойству удовлетворяет функция y(x) на отрезке [-2;0], если задана ее производная

Свойство  функции ---------------------- Производная	Возрастает	Имеет максимум	Имеет минимум	Постоянна	Убывает

Укажите, какому свойству удовлетворяет функция y(x) на отрезке [2;8], если задана ее производная

Свойство  функции ---------------------- Производная	Возрастает	Имеет максимум	Имеет минимум	Постоянна	Убывает
-x+1
-xІ

Укажите,  какому свойству удовлетворяет функция y(x) на отрезке [-2;-5], если задана ее производная

Свойство  функции ---------------------- Производная	Возрастает	Имеет максимум	Имеет минимум	Постоянна	Убывает
0
xІ+2

Текстовые задачи на наибольшее, наименьшее значение

функции

Задача: В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна 2. Найдите наибольшее значение площади боковой поверхности

Схема решения задачи	Решение конкретной задачи	Пояснения
Ввести неизвестное	Пусть х – сторона основания призмы	За х принимается любая из неизвестных величин
Выразить все необходимые для решения задачи величины через введенное неизвестное	Рассмотрим треугольник , тогда по теореме Пифагора
З.		Учитываются не только алгеброические ограничения, но и физические
Составить функцию		За функцию принимается та величина, о наибольшем наименьшем которой идет речь
Исследовать функцию на наибольшее, наименьшее на интервале	_______________________ На промежутке (0;] функция возрастает, а на промежутке [,2) убывает, следовательно в точке х= функция имеет максимум, а значит принимает в этой точке наибольшее значение на данном интервале
Найти все значения необходимые для ответа на вопрос
Записать ответ	Ответ: наибольшее значение площади равно 6

Если вы смогли разобраться в решении текстовых задач попробуйте сделать следующие задачи самостоятельно:

1.Рассматриваются квадраты, вписанные в различные равнобедренные треугольники с боковыми сторонами, равными 1. (одна сторона квадрата лежит на основании). Найдите сторону наибольшего квадрата.

2. Найдите высоту и радиус основания прямого кругового цилиндра наибольшего объема, описанного около единичного шара.

3. Два корабля движутся по параллельным прямым, находящимся на расстоянии 4 км друг от друга. В какой-то момент времени отрезок, их соединяющий, перпендикулярен их курсам. Скорость первого равна 16 км\час, скорость второго 20 км\час. С первого корабля отправляется посыльный катер, скорость которого 28 км\час. Катер доплывает до второго корабля и тут же возвращается обратно. Какое наименьшее время может продолжаться поездка катера, если: а) оба корабля идут в одном направлении; б) корабли идут в противоположных направлениях?

4. В два различных сосуда налиты растворы соли, причем в первый сосудналито 5 кг, а во второй – 20 кг. При испарении воды процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось в p раз, а во втором сосуде в q| раз. Известно, что pq=9. Какое наибольшее количество воды могло при этом испариться из обоих сосудов?