Лекции 19, 20 (стр. 2 )

       Если коэффициенты и положительны, то второй дифференциал положительно определен, а точка является точкой минимума.

       Если коэффициенты и отрицательны, то второй дифференциал отрицательно определен, а точка является точкой максимума.

       Если коэффициенты и имеют разные знаки, то второй дифференциал может принимать как положительные, так и отрицательные значения, а точка не является точкой экстремума.

       Если один их коэффициентов  и равен нулю, то второй дифференциал может обращаться в нуль при не равных одновременно нулю значениях дифференциалов независимых переменных и . В этом случае нельзя ответить на вопрос, является ли точка точкой экстремума и требуется провести дополнительное исследование.

       Заметим, что если количество переменных функции больше трех, то приведение квадратичной формы к каноническому виду нередко требует громоздких преобразований. В этом случае проще воспользоваться критерием Сильвестра.

Пример 1. Найти локальные экстремумы функции двух переменных

.

Найдем частные производные первого порядка и запишем необходимые условия

экстремума:

Решая эту систему, находим стационарную точку с координатами , . Вычислим в этой точке значения вторых производных:

, , .

Запишем второй дифференциал и преобразуем его к каноническому виду

.

Так как при любых значениях и , не равных  одновременно нулю, то точка является точкой локального минимума. Функция принимает в этой точке минимальное значение .

2. Условный экстремум функции двух переменных

Пусть на некотором множестве заданы функции двух переменных , , и пусть — множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

.  (1)

Уравнение (1) называется уравнением связи.

Определение. Точка называется точкой условного максимума (минимума) функции при условии (1), если существует окрестность точки , для всех точек которой, удовлетворяющих уравнению связи, справедливо неравенство

().

       Если имеет место строгое неравенство

(),

то точка называется точкой строгого условного максимума (минимума) функции .

       Точки условного максимума и минимума называются точками условного экстремума. Значение функции в этих точках — ее условными экстремумами.

       Заметим, что уравнение (1) задает на плоскости некоторую кривую, а наибольшее (или наименьшее) значение функции ищется среди значений функции , принимаемых на этой кривой.

       Далее мы будем предполагать, что функции , дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем частная производная функции по переменной отлична от нуля.

       Если , то в окрестности точки существует единственное дифференцируемое решение уравнения (1) . Подставляя это соотношение в выражение для функции сведем задачу определения условного экстремума к отысканию безусловного экстремума функции одной переменной

.

       Поскольку функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция также дифференцируема в точке . Необходимым условием существования экстремума функции одной переменной является, как известно, равенство нулю в этой точке первой производной, то есть

.

       Достаточное условие — это смена знака у производной при прохождении точки . Если функция дважды дифференцируема в точке , то можно также использовать второе достаточное условие: точка является точкой минимума, если , и точкой максимума, если .

       Если — точка экстремума функции , то точка , где , является точкой условного экстремума функции .