Лекции 19, 20 (стр. 4 )

().

Если  имеет место строгое неравенство

(,

то точка называется точкой строгого глобального или абсолютного максимума (минимума)

       Такие точки называются точками глобального или абсолютного экстремума, а значение функции в данных точках — глобальным или абсолютным экстремумом. Значение функции в точке глобального максимума называют также наибольшим значением функции на множестве , а в точке глобального минимума — наименьшим значением функции.

       Как известно, если функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве, то есть на этом множестве найдутся точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение. Следовательно, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве функция имеет на этом множестве по крайней мере одну точку глобального максимума и одну точку глобального минимума.

       Заметим, что, если множество не является ограниченным и замкнутым, то функция может и не иметь на этом множестве наибольшего или наименьшего значения.

       Рассмотрим ограниченную замкнутую область, задаваемую системой неравенств

, ,

где — непрерывные функции. Эта область представляет собой криволинейный многоугольник, сторонами которого являются участки непрерывных кривых , а вершинами — точки пересечения этих кривых.

       Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в рассматриваемой области, следует вычислить значения локальных экстремумов внутри области, условных экстремумов на каждой из сторон многоугольника при условии , значения функции в вершинах многоугольника и выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.

Заметим, что, если функция дифференцируема в рассматриваемой области, вместо локальных и условных экстремумов можно найти значения функции в стационарных точках внутри области и на ее границах, не проверяя достаточных условий существования экстремума. Действительно, если стационарная точка не является точкой локального или условного экстремума, то она не может быть и точкой глобального экстремума.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , , .

       Данная область является треугольником с вершинами , и , стороны которого расположены на прямых , , (рис. 1).

Найдем стационарные точки внутри области. Вычислим частные производные функции и приравняем их нулю

Полученная система не имеет решения. Следовательно, стационарных точек внутри области нет.

       Рис. 1

Найдем стационарные точки на стороне . Координаты точек, лежащих на удовлетворяют условиям , . Тогда рассматриваемая функция принимает вид . Стационарная точка определяется из условия . Отсюда . Вычислим значение функции в найденной точке . Рассмотрим точки, лежащие на стороне . Их координаты удовлетворяют условиям , . При этом имеем , , то есть на стороне стационарных точек нет. Найдем стационарные точки на стороне . Здесь , , , . Из уравнения находим . Тогда y=1. Итак, на отрезке ОВ имеется стационарная точка М(-1,1), значение функции в этой точке z(-1,1)=2. Найдем значения функции в вершинах треугольника

, , .

       Итак, функция принимает наибольшее значение в точке , наименьшее значение в точке .

4. Условный экстремум функции многих переменных

Пусть на некотором множестве заданы функции многих переменных , , , …, , и пусть — множество точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений

,

,

…  (1)

.

Уравнения (1) называются уравнениями связи.

Определение. Точка называется точкой условного максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой, удовлетворяющих уравнениям связи, справедливо неравенство

(), .

       Если имеет место строгое неравенство

(),

то точка называется точкой строгого условного максимума (минимума) функции.