Лекции 19, 20 (стр. 1 )

Лекции 19, 20

1. Локальные экстремумы функции многих переменных

Определение. Пусть функция многих переменных задана на некотором множестве и — некоторая точка этого множества.  Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции  , если существует окрестность точки , для всех точек которой, принадлежащих области определения , справедливо неравенство

().

Если  имеет место строгое неравенство

(,

то точка называется точкой строгого максимума (минимума).

Точки локальных минимумов и максимумов называются точками локальных экстремумов, а значение функции в этих точках — ее экстремумами.

Необходимые условия существования экстремума. Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то все частные производные первого порядка обращаются в этой точке в нуль:

, .  (1)

Доказательство. Докажем, например, равенство нулю частной производной . Зафиксируем значения переменных , положив их соответственно равными . Тогда функция является функцией одной переменной . Эта функция имеет в точке локальный экстремум и производную по аргументу , которая и является частной производной . Напомним, что согласно теореме Ферма, если дифференцируемая функция одной переменной имеет в точке локальный экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю. аналогично доказывается равенство нулю остальных частных производных.

Следствие. Если дифференцируемая функция многих переменных имеет в точке локальный экстремум, то первый дифференциал в точке равен нулю.

       Действительно, так как

,

а все частные производные обращаются в точке локального экстремума в нуль, то и .

Точки, в которых все частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Они могут быть точками экстремума функции . Однако условие (1) не является достаточным условием существования экстремума у дифференцируемой функции.

Например, функция имеет частные производные, равные нулю, в точке . Однако частное значение функции не является ни наибольшим, ни наименьшим в любой окрестности точки , так как в любой окрестности функция может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Помимо стационарных точек, точками локальных экстремумов могут являться точки, в которых функция многих переменных не является дифференцируемой. Такие точки и стационарные называются критическими.

Достаточные условия существования строгого экстремума дифференцируемой функции.

        Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в окрестности стационарной точки . Тогда точка :

является точкой строгого минимума функции, если второй дифференциал положительно определен, то есть , для всех , не равных одновременно нулю ; является точкой строгого максимума функции, если второй дифференциал отрицательно определен, то есть , для всех , не равных одновременно нулю ; не является точкой экстремума, если второй дифференциал может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

       Второй дифференциал функции многих переменных задается формулой

  (2)

и является квадратичной формой относительно дифференциалов независимых переменных с коэффициентами . Для исследования знакоопределенности квадратичной формы можно использовать критерий Сильвестра. Согласно критерию Сильвестра второй дифференциал положительно определен тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы Гессе

  (3)

квадратичной формы (2) положительны. Второй дифференциал отрицательно определен тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы (3) нечетного порядка отрицательны, а четного порядка положительны.

       Заметим, что главным минором -ого порядка называется определитель, составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении первых строк и столбцов.

       Итак, стационарная точка является точкой минимума, если выполнены неравенства:

, , …, .

       Если знаки главных миноров чередуются, а , то точка является точкой максимума.

       Для исследования второго дифференциала на знакопостоянство помимо критерия Сильвестра можно использовать метод приведения квадратичной формы к каноническому виду.

       Так в случае функции двух переменных выражение для второго дифференциала

можно привести к каноническому виду, выделив в этом выражении полные квадраты

.