Лекции 19, 20 (стр. 5 )

       Точки условного максимума и минимума называются точками условного экстремума. Значение функции в этих точках — ее условными экстремумами.

Прямой метод нахождения точек условного экстремума (метод исключения)

Предположим, что функции, стоящие в левых частях равенств (1), дифференцируемы в некоторой окрестности точки причем частные производные этих функций по переменным непрерывны в точке , а якобиан

отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности точки определены функции

  (2)

которые являются единственным и дифференцируемым решением системы (1). Подставляя найденные функции (2) в выражение для функции , мы сведем задачу по определению условного экстремума к задаче об отыскании локального безусловного экстремума функции переменных

.  (3)

Необходимым условием безусловного экстремума в точке функции является равенство нулю в этой точке  всех первых частных производных:

, .

Достаточным — знакопостоянство второго дифференциала .

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Введем функцию Лагранжа

,

где — функции, стоящие в левых частях равнений связи (1), а некоторые постоянные, которые называются множителями Лагранжа. Очевидно, что при наличии связей (1) условный экстремум функции совпадает с безусловным экстремумом функции Лагранжа, поскольку при наличии связей разность совпадает с разностью и, следовательно, из неравенств или следуют неравенства , .

Необходимые условия существования экстремума. Пусть дифференцируемая функция при наличии связей (1) имеет условный экстремум в точке . Пусть также функции, стоящие в левых частях равенств (1), дифференцируемы в некоторой окрестности точки , а якобиан отличен от нуля. Тогда справедливы следующие равенства

, ,

, ,  (4)

, .

       Решая систему (4), находят координаты точек возможных экстремумов и соответствующие значения множителей Лагранжа . Чтобы выяснить являются ли найденные точки точками экстремума, нужно проверить выполнение достаточного условия.

       Достаточное условие. Заметим, что из уравнений (1) следует, что дифференциалы связаны между собой соотношениями

,

то есть удовлетворяют системе

,   (5)

Поскольку определитель системы (5), равный якобиану , отличен от нуля, то дифференциалы могут быть однозначно выражены через дифференциалы .

       Пусть функции, , , …, дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки , и в точке выполнены необходимые условия существования условного экстремума (4). Тогда, если второй дифференциал функции Лагранжа при выполнении условий (5) положительно (отрицательно) определен, то в точке имеется условный строгий минимум (максимум). Если при условиях (5) второй дифференциал функции Лагранжа знаконеопределен, то в точке условного экстремума нет.