Лекции 19, 20 (стр. 3 )

Пример 2. Найти условный экстремум функции двух переменных при условии, что аргументы этой функции удовлетворяют условию связи .

Подставляя в выражение функции , сведем задачу к задаче об отыскании локального экстремума функции одной переменной .

Так как при , то точка с координатами , является возможной точкой экстремума. Поскольку , то это точка условного минимума.

Отметим, что точка условного экстремума не совпадает с точкой безусловного экстремума той же функции (см. пример 1).

       Метод сведения задачи на условный экстремум к определению безусловного экстремума функции одной переменной называется методом исключения переменной или прямым методом определения точек условного экстремума.

Однако нередко невозможно или весьма затруднительно выразить решение уравнения (1) через элементарные функции. Одним из методов, позволяющих найти условный экстремум функции многих переменных, не прибегая к решению уравнения (1), является метод неопределенных множителей Лагранжа.

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Функцией Лагранжа называется функция

,

где , левая часть уравнения связи (1), а — некоторая постоянная, которая называется множителем Лагранжа. Значение этого множителя определится в процессе нахождения координат точки экстремума.

Заметим, что условный экстремум функции при условии (1) совпадает с безусловным экстремумом функции Лагранжа, поскольку для точек и , удовлетворяющих условию (1)

.

Следовательно, из неравенств , следуют неравенства , .

       Необходимым условием безусловного экстремума функции Лагранжа является равенство нулю всех ее частных производных первого порядка. Добавляя к этому условию уравнение связи (1), получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными

  (2)

Решая эту систему, находим координаты возможных точек экстремума и значения множителя . Точки, удовлетворяющие системе (2) называются стационарными точками функции Лагранжа.

Достаточным условием существовании условного экстремума в точке , координаты которой удовлетворяют системе (2), является знакопостоянство второго дифференциала функции Лагранжа при учете условия (1). Из условия (1) следует, что

.

Так как , то из последнего равенства можно выразить через :

.

Подставляя это соотношение в выражение для второго дифференциала

получим

.

Итак, при учете условия связи (1) второй дифференциал принимает вид , где

.

Так как при , то знак второго дифференциала совпадает со знаком . Если , то точка является точкой минимума, если , то — это точка максимума. Если , то вопрос о существовании условного экстремума остается открытым. В этом случае нужно проводить дополнительные исследования.

Пример 3. Найти условный экстремум функции двух переменных при условии, что аргументы этой функции удовлетворяют условию связи .

Запишем функцию Лагранжа

и необходимые условия условного экстремума

,

,  (3)

.

Решая систему (3), определим значение множителя и координаты возможной точки условного экстремума , .

       Найдем значения вторых производных функции Лагранжа в точке :

, , .

Из уравнения связи находим соотношение между дифференциалами и :

, .

Находим второй дифференциал функции Лагранжа, учитывая связь дифференциалов и

.

Поскольку второй дифференциал функции Лагранжа положителен при любых значениях , то точка является точкой условного минимума.

2. Наибольшее и наименьшее значение функции

Определение. Пусть функция двух переменных задана на некотором множестве и — некоторая точка этого множества.  Точка называется точкой глобального или абсолютного максимума (минимума) функции , если для всех точек , принадлежащих области , справедливо неравенство