Теоретические основы применения математических методов моделей при управлении материально-транспортными потоками (стр. 3 )

Методы математической статистики позволяют предвидеть течение и развитие логистических процессов. При помощи методов математической статистики решаются такие вопросы, как построение кривых распределения вероятностей и оценка степени согласия фактических характеристик с теоретическими, позволяют определять эмпирические зависимости, оценивать тесноту связи между изучаемыми величинами.

В логистике наиболее часто применяется корреляционно-регрессионный анализ, с помощью которого выявляются качественные и количественные влияния различных факторов на показатели логистической деятельности7.

Для прогнозирования результатов логистической деятельности используется трендовый анализ (анализ временных рядов) - cбор и обработка данных за различные периоды времени и сравнение каждой позиции с рядом предшествующих периодов c целью определения основной тенденции динамики показателя (тренда).

Рассмотрим пример использования трендового анализа для прогнозирования результатов логистической деятельности:

За период с 2000-2006 гг. известен динамический ряд товарооборота регионального склада (таблица 2.4.).

Таблица 2.4.

Товарооборот за период 2000-2006 гг. (млн. руб.)

2000г.	2001г.	2002г.	2003г.	2004г.	2005г.	2006г.
145	152	178	189	202	220	240

Необходимо осуществить прогноз товарооборота на 2008г. и построить график динамики товарооборота.

Из предположения о линейной зависимости товарооборота от времени для нахождения уравнения зависимости используем метод наименьших квадратов.

Система нормальных уравнений имеет вид:

                                                               

где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода времени; y –значения ряда.

Полученное линейное уравнение регрессии имеет вид .

Сформируем вспомогательную расчетную таблицу 2.5.

Таблица 2.5.

Вспомогательная расчетная таблица

Год	Товарооборот, млн руб., Yt	t	t2	Yt*t
2000	145	1	1	145
2001	152	2	4	304
2002	178	3	9	534
2003	189	4	16	756
2004	202	5	25	1010
2005	220	6	36	1320
2006	240	7	49	1680
Итого	1326	28	140	5749

На основе исходных данных получим следующие расчетные величины:

Ʃt=28;  ƩYt=1326;  ƩYt·t=5749; Ʃt2=140

Подставив эти данные в систему, получим систему уравнений метода наименьших квадратов.

7a0 + 28a1 = 1326;

28a0 + 140a1 = 5749.

       Решим систему уравнений.

a1=15  ;  a0=125,048

Уравнение тренда: Ŷt=125,048+15t

Путем последовательной подстановки в полученное уравнение значений t можно получить расчетные значения соответствующих показателей Ŷt.

Сформируем таблицу 2.6. фактических и расчетных значений объема перевозок в 2000-2008 г.

Таблица 2.6.

Фактические и расчетные значения объема перевозок в 2000-2008 г.

Год	t	Фактический товарооборот, млн руб., y	Расчетный товарооборот, Ŷt=125,08+15   t, млн руб.
2000	1	145	140,97
2001	2	152	156,86
2002	3	178	172,75
2003	4	189	188,64
2004	5	202	204,53
2005	6	220	220,42
2006	7	240	236,31
2007	8	252,2
2008	9	268,09

Таким образом, прогноз товарооборота на 2008 год: 268,09 млн руб.

На рис. 2.4. изобразим динамику фактических и расчетных значений товарооборота в 2000-2006 гг. с осуществлением прогноза до 2008 г.

Рис. 2. 4. Динамика изменения товарооборота

2.4. Модели линейного программирования

В логистике имеется ряд ситуаций, которые описываются моделями линейного программирования. Эти ситуации формулируются в виде задач.

К таким задачам в логистике относятся:

• транспортная задача;

• задача на раскрой материалов;

• задача размещения баз снабжения;

• задача по оптимизации ассортиментной загрузки производства8.

Наиболее распространенной является транспортная задача линейного программирования. Решение транспортной задачи рассмотрим на следующем примере.

Используя метод потенциалов, решить следующую транспортную задачу:

Таблица 2.7.

Матрица затрат на перевозку

Поставщики	Потребители	Мощность поставщика
1	2	3	4	5
1	10	16	3	8	15	14
2	3	14	12	9	1	25
3	2	20	4	11	5	56
4	7	17	13	8	15	45
Потребность потребителей	40	40	20	10	30

Математическая модель транспортной задачи:

F = ∑∑cijxij,  (1)

при условиях:

∑xij = ai,  i = 1,2,…, m,  (2)

∑xij = bj,  j = 1,2,…, n,  (3)

С целью составления двойственной задачи переменные xij в условии (2) заменим на u1, u2, ui,.., um, а переменные xij в условия (3) на v1, v2, vj,.., vn.

Поскольку каждая переменная xij входит в условия (2,3) и целевую функцию (1) по одному разу, то двойственную задачу по отношению к прямой транспортной задаче можно сформулировать следующим образом.

Требуется найти не отрицательные числа ui (при i  = 1,2,…,m) и vj (при j = 1,2,..,n), обращающие в минимум целевую функцию.

G = ∑aiui + ∑bjvj

при условии

ui + vj ≤ cij, i = 1,2,..,m; j = 1,2,..,n  (4)

В системе условий (4) будет mxn неравенств. По теории двойственности для оптимальных планов прямой и двойственной задачи для всех i, j должно быть:

ui + vj ≤ cij, если xij = 0,

ui + vj = cij, если xij ≥ 0,

Эти условия являются необходимыми и достаточными признаками оптимальности плана транспортной задачи.

Числа ui, vj называются потенциалами. Причем число ui называется потенциалом поставщика, а число vj – потенциалом потребителя.

По первой теореме двойственности в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G.

Задача решается в 2 этапа:

Этап I. Поиск первого опорного плана.

Используя метод наименьшей стоимости, строится первый опорный план транспортной задачи.

Этап II. Улучшение опорного плана.

Решением задачи является нахождение минимальных затрат на перевозку, которые в рассматриваемой задаче составят 956 д. е.

2.5. Методы теории графов

Методы теории графов находят широкое применение в логистике, в частности, в виде системы сетевого планирования и управления. При помощи сетевого планирования и управления достигается рациональное использование материальных ресурсов, осуществляется надежное и ритмичное материально-техническое обеспечение.

Теория потоков возникла первоначально в связи с разработкой
методов решения задач, связанных с рациональной перевозкой грузов. Схема доставки груза представляется в виде графа, по ребрам которого проходит поток этого груза. Позднее обнаружилось, что к задаче о максимальном потоке сводятся и другие важные оптимизационные практические задачи.

Рассмотрим примеры применения сетевых моделей.

Метод полного перебора применяемые для определения оптимального количества складов и места расположения склада