Теоретические вопросы для подготовки к итоговой промежуточной аттестации по геометрии для учащихся 8 класса

1 блок: Теоретические вопросы для подготовки к итоговой промежуточной аттестации по геометрии для учащихся 8 класса

2 блок: Задачи базового уровня. Источник:

Сайт  решугиа. рф Открытый банк заданий ГИА на ФИПИ

3 блок: Задачи на доказательства. Источники:

. Геометрия. Планиметрия. Задачник 7-9 классы. Решугиа. рф Открытый банк заданий ГИА на ФИПИ

1 блок

1. Определение равнобедренного треугольника. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

2.  Определение параллельных прямых. Признаки параллельности прямых

3. Аксиома параллельности. Следствия из аксиомы параллельных прямых. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

4. Соотношение между сторонами и углами в треугольнике. Неравенство треугольника.

5. Определение равных треугольников. Признаки равенства треугольников

6. Определение смежных углов. Свойство смежных углов.  Определение вертикальных углов. Свойство вертикальных углов.

7. Определение треугольника. Теорема о сумме углов треугольника. Определение внешнего угла. Свойство внешнего угла.

8. Определение прямоугольного треугольника. Свойство катета, лежащего напротив угла в 30°. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

9. Определение медианы, биссектрисы, высоты треугольника.

10. Площадь параллелограмма. Площадь треугольника. Площадь прямоугольника. Площадь трапеции. Площадь ромба.

11. Признаки подобия треугольников. Отношение периметров и площадей подобных треугольников.

12. Параллелограмм, его свойства и признаки. Трапеция. Свойства равнобедренной трапеции.

13. Прямоугольник, свойства и признаки прямоугольника. Ромб, свойства. Квадрат, его свойства и признаки.

14. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

15. Касательная к окружности, свойства касательной. Вписанная и описанная окружности. Взаимное расположение прямой и окружности

16. Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора

17. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Свойства биссектрисы угла. Четыре замечательные точки треугольника.

18. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°.

19. Свойство описанного четырехугольника. Свойство вписанного четырехугольника.

20. Теорема об отрезках двух пересекающихся хордах.

21.  Средняя линия треугольника. Формула Герона.

22.  Осевая симметрия. Центральная симметрия.

23. Центральные и вписанные углы. Теорема о вписанном угле.

24. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

25. Сформулируйте определение выпуклого многоугольника ( периметр, диагональ). Сформулируйте теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.

26. Описанная окружность. Центр окружности, описанной около треугольника.  Вписанная окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник.

2 блок

Сумма трех углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 300°. Най­ди­те чет­вер­тый угол. Ответ дайте в гра­ду­сах. Диа­го­наль BD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 65° и 50°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с ос­но­ва­ни­ем AC внеш­ний угол при вер­ши­не C равен 123°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

4. Сто­ро­на ромба равна 34, а ост­рый угол равен 60° . Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

5. Най­ди­те боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль AC об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной AB углы, рав­ные 30° и 45° со­от­вет­ствен­но.

6. Углы, от­ме­чен­ные на ри­сун­ке одной дугой, равны. Най­ди­те угол б. Ответ дайте в гра­ду­сах.

7.  Два ост­рых угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 4:5. Най­ди­те боль­ший ост­рый угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

8. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен 10, а угол, ле­жа­щий на­про­тив него, равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

9. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

10. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

11. Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 16, а бо­ко­вая сто­ро­на — 5. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см Ч 1см изоб­ра­же­на тра­пе­ция. Най­ди­те её пло­щадь. Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

13. Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

14. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла MON, если из­вест­но, NP — диа­метр, а гра­дус­ная мера угла MNP равна 18°.

15. Ка­са­тель­ные в точ­ках A и B к окруж­но­сти с цен­тром O пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 72°. Най­ди­те угол ABO. Ответ дайте в гра­ду­сах.

16. Два угла треугольника равны 40є и 130є. Найдите величину внешнего угла при третьей вершине. Ответ дайте в градусах.

17. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100є. Найдите любой другой его угол. Ответ дайте в градусах.

18. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 42є. Найдите величину угла CAK, если AK - биссектриса угла A. Ответ дайте в градусах.

19. На рисунке изображена окружность с центром O. Угол BON равен 50є, а угол MAB равен 20є. Найдите величину дуги NBM. Ответ дайте в градусах.

20. Один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого. Найдите меньший из углов параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

21. К окружности с центром O проведена касательная KA. Радиус окружности равен √2. Расстояние от точки K до центра окружности равно 11. Найдите AK.

22. AB — касательная к окружности, AC и AD — хорды, причем AC и AB перпендикулярны. Найдите градусную меру угла CAD, если дуга AD равна 112є.

23. Найдите площадь равнобедренного треугольника, изображенного на рисунке.

24. Диагонали ромба равны 24 и 7,5. Найдите его площадь.

25. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

26. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке. Сторону клетки считать равной 1 см.

27. Прямые AB, CD и EF параллельны. По данным рисунка найдите длину отрезка CE.

28. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та ABCD, счи­тая сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток рав­ны­ми 1.

29. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 1 и 3, вы­со­та — 1. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

30. В тре­уголь­ни­ке угол равен , . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

3 блок

Докажите, что в равных треугольниках соответствующие высоты равны между собой. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. Верно ли обратное? AB диаметр окружности. Точка М лежит на окружности, отличная от  точек А и В. Докажите, что угол АМВ прямой. Окружность, построенная на биссектрисе AD треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC соответственно в точках M и N, отличных от A. Докажите, что AM = AN. Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точка D на окружности расположены по одну сторону от прямой OA. Докажите, что угол CAD вдвое меньше угла AOD. Точки M и N _ середины противолежащих сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырехугольник AMCN _ параллелограмм. Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем BM = 3AM и CN = 3AN. Докажите, что MN || BC и найдите MN, если BC = 12. В равнобокой трапеции острый угол равен 60◦. Докажите, что меньшее основание равно разности большего основания и боковой стороны. В окруж­но­сти через се­ре­ди­ну O хорды AC про­ве­де­на хорда BD так, что дуги AB и CD равны. До­ка­жи­те, что O — се­ре­ди­на хорды BD. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA1 и BB1. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки A1CB1 и ACB по­доб­ны. Прямая, проведенная через вершину C трапеции ABCD параллельно диагонали BD, пересекает продолжение основания AD в точке M. Докажите, что треугольник ACM равновелик трапеции ABCD. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов. Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках E и F пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках C и D, причём точки E и F лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD. До­ка­жи­те, что CD перпендикулярна EF. Вы­со­ты AA1 и BB1 ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что углыAA1B1 и ABB1 равны. Сто­ро­на BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны CD. Точка L — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. До­ка­жи­те, что DL — бис­сек­три­са угла CDA. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKD. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции от­но­сят­ся как 1:3. Через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям. В каком от­но­ше­нии эта пря­мая делит пло­щадь тра­пе­ции?