Построение правильных геометрических фигур на плоскости
МАУДО «ФЦДО»,
Сургутский район, п. г.т. Федоровский,
Руководитель:
Введение
Французский энциклопедический словарь Ларусс определяет прекрасное как то, что «радует глаз или разум». Особенно приятна для глаз симметрия. Она господствует в природе. С детства человек привык видеть зеркальную симметрию в бабочках, животных, в стройных елях и волшебных узорах снежинок. Человек привыкает видеть в природе вертикальные оси и плоскости симметрии, и вертикальная симметрия воспринимается нами гораздо охотнее. Таким образом, симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, порядка, царящего в природе. Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий.
В курсе девятого класса мы на уроках изучаем правильные выпуклые многоугольники, в частности – равносторонний треугольник, квадрат и шестиугольник. Все эти фигуры имеют оси симметрии, эстетичны для восприятия. В своей работе я занималась построением: 1) биссектрисы угла; 2) двумя способами построения перпендикулярной прямой. Они необходимы для построения: 3) правильного треугольника; 4) правильного четырехугольника; 5) правильного вписанного и описанного шестиугольника; 6)звездчатого пятиугольника и звездчатого десятиугольника.
Построение биссектрисы угла
Построим произвольный или заданный угол ВАС; Из вершины А данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса; В и С – точки пересечения окружности со сторонами угла ВАС; Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности; D – точка пересечения этих окружностей, отличная от А; Проведем полупрямую АD.Луч AD является биссектрисой, так как делит угол ВАС пополам. Это следует из равенства треугольников ABD и ACD, у которых углы DAB и DAC являются соответствующими.
Построение перпендикулярной прямой
Данная точка О лежит на прямой а:1) Из точки О проводим произвольным радиусом окружность;
2) Окружность пересекает прямую а в точках А и В;
3) Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ;
4) С и С1– точка пересечения окружностей с радиусом АВ;
5) Треугольники АСО и ВСО равны по третьему признаку. Значит углы при вершине О равны. Следовательно прямые ОС и АВ перпендикулярны (приложение 2).
Точка О не лежит на прямой а:1) Из точки О проводим окружность, пересекающую а;
2) А и В – точки пересечения окружности с прямой а;
3) Из точек А и В проведем окружности тем же радиусом;
4) О1 – точка пересечения окружностей с радиусом АВ, лежащая в противоположной полуплоскости по отношению к полуплоскости, в которой лежит точка О;
5) С – точка пересечения прямых АВ и ОО1;
6) Треугольники АОВ и АО1В равны по третьему признаку, поэтому угол ОАС равен углу О1АС;
7) Тогда треугольники ОАС и О1АС равны по первому признаку;
8) Их углы АСО и АСО1 равны, а т. к. они смежные, то они прямые.
Таким образом, ОС – перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а.
Построение некоторых правильных многоугольников
Построение правильного вписанного шестиугольника Построим окружность; Поставим произвольную точку А1 на окружности; Из точки А1 как из центра радиусом, равным радиусу окружности, делаем засечку и получаем вершину А2; Продолжим построения и для других вершин А3, А4, А5, А6 и соединим их отрезками. Построение правильного (равностороннего) треугольника Построим окружность; Поставим произвольную точку А1 на окружности; Построим правильный шестиугольник; Точку А1 последовательно соединим с двумя другими точками правильного шестиугольника А5, А3. При построении, стороны треугольника не должны пересекать центр окружности. Построение правильного вписанного четырехугольника (квадрата) Построим окружность; Через центр окружности О проведем перпендикулярные прямые а и в, пересекающие окружность в вершинах квадрата. Способ построения перпендикулярных прямых рассмотрен выше. Построение правильного описанного шестиугольника Построим окружность; Поставим произвольную точку А1 на окружности; Построим правильный шестиугольник; Проведем касательные а, в, с, d, f, g к окружности в вершинах правильного вписанного многоугольника. Способ построения перпендикулярных прямых рассмотрен выше. Касательные, проходящие через вершины правильного вписанного многоугольника, пересекаются в вершинах правильного описанного многоугольника.Построение звездчатого пятиугольника
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
