Основы гравиметрии (стр. 1 )

Основы гравиметрии

Введение

Предмет гравиметрии; Определение поверхности земли по измерениям силы тяжести; Задачв Стокса; Задача Молодецкого.
Гравиметрия – это наука об измерениях силы тяжести Земли – g.  Основной формулой, из которой можно определить ускорение силы тяжести является:  F=mg, если принять m=1, то F=g.

2. Сила тяжести необходима для определения поверхности Земли относительно земного эллипсоида. Что бы определить поверхность Земли необходимо знать координаты любой её точки.  Для определения любой точки необходимо знать широту и долготу (B, L), а также  геодезическую высоту (Н). Обычным нивелированием мы определяем нормальную высоту относительно геоида. Нормальная высота определяется относительно уровня моря геометрическим нивелированием, однако геодезические высоты, во-первых отсчитываются от поверхности эллипсоида по нормали к А.

 

А равно: , где  – высота геоида над эллипсоидом.

Задачей физической геодезии было определение значения . Высота геоида над эллипсоидым определяется по формуле Брумса. Для записи формулы Брумса зададимся потенциалом

Пусть в известен потенциал реальной силы тяжести W. Геоид совпадает с уровнем моря. С увеличением высоты потенциал эллипсоида меняется, а именно уменьшается. Тогда потенциал силы притяжения эллипсоида в будет равен:

«-» указывает на то, что с увеличением высоты потенциал уменьшается. Для определения высоты геоида над эллипсоидом находят разность W-U=T, где Т – возмущающий потенциал.

W-T.  Проанализировав формулу, производная потенциала по любому направлению ровна силе вдоль этого направления.  , тогда

W-T, отсюда можно записать высоту :

при W=, то – формула высоты геоида над эллипсоидом.

– ускорение силы притяжения породнённая эллипсоидом, масса которого равна массе Земли.

Т – потенциал, который необходимо определить.

Возмущающий потенциал определяется из решения так называемых краевых задач. Задачи называются краевыми, потому что на краях поверхности или по контурам фигур в точках 1, 2 и т. д. заданы значения по всем контурам или поверхностям. Всего существует 3 задачи.

I краевая задача: пусть на поверхности измерено значение возмущающего потенциала Т, тогда можно найти значение функции этого потенциала от широты и долготы:

Т=f(B, L) – задача Дирехле

II краевая задача: пусть в точке А известен реальный потенциал притяжения W, а также потенциал притяжения эллипсоида U. Тогда W-U=T. Продифференцируем это вырожение:

Тогда запишем краевое условие II краевой задачи:

В этой задаче необходимо решить дифференциальное уравнение относительно Т в каждой точке Земли. Также измерить силу тяжести g, вычислить тогда можно определить функцию Т в зависимости от и координат точек зная Т по формуле Брумса.

В настоящее время решение II краевой задачи является актуальным вопросом, так как имеется возможность определить значение в точке А. в общем случае значение f(A):

Геодезическая высота определяется спутниковыми методами, например GPS-Методом.

III краевая задача. Также допускается, что известна реальный потенциал W, потенциал U земного эллипсоида в А.

W-U=T, но до XXI века значения U и А нельзя было определить. Задавались значения U0  на поверхности земного эллипсоида в А0, высотой из геометрического нивелирования и тогда вычисляется H.  В результате получаем Up силы притяжения в точке Р0, которые отстоят от а на расстояние тогда записываем

W-U=T

Величину - смешенная аномалия силы тяжести

- условие III краевой задачи. Именно из её решения до XXI века находили возмущающий потенциал T=f(,B, L,H), а по формуле Брумса вычисляли высоту геоида над эллипсоидом.

При выводе формулы возмущающего потенциала требовалось, что бы эта функция во внешнем пространстве удовлетворяла следующему условию:

Это выражение называется выражением Лапласа, а функция удовлетворяющая данному уравнению называется гармоническим.

Проблемой решения краевых задач занимается раздел математики. Основоположником определения фигуры Земли по возмущающему потенциалу является Стокс. Продолжил решение советский учёный .

3. Задача Стокса.

Задача стокса базируется на решении второй и третьей краевой задачи. Теорема Стокса как условие задачи формулируется так: если известна общая масса тела М, угловая скорость его вращения Ɯ около неизменной оси и форма внешней уровенной поверхности Ɠ целеком охватывающей все притягивающие массы, то потенциал силы тяжести V и сама сила тяжести g определяется однозначно как во всем внешнем пространстве, так и на самой уровенной поверхности Ɠ. Это прямая задача физической геодезии.