Семинар-практикум "Повторяя арифметическую и геометрическую прогрессии, повторяем алгебру"
Цель урока: Уметь применять знания по арифметической и геометрической прогрессиям при решении задач.
Задания представлены в двух вариантах и систематизированы по темам. Варианты могут быть использованы в самостоятельной работе, в работе по группам, в коллективной работе класса, в качестве индивидуальных заданий.
Системы уравнений
Вариант 1
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 132, а сумма второго и третьего членов равна 110. Найдите три первые члена этой прогрессии. Найдите четвертый член возрастающей арифметической прогрессии, в которой сумма первых десяти членов равна 155, а произведение ее первого и десятого членов равно 58. В магазине в конце августа продали 1200 тетрадей трех видов по цене соответственно: 2 руб, 4 руб и 6 руб на сумму 4200 рублей. Сколько тетрадей каждого вида было продано в магазине, если количество проданных тетрадей соответственно каждого вида образуют арифметическую прогрессию?Вариант 2
Ответы и комментарии к заданиям.
Вариант 1
1. Решая составленную систему уравнений 
разделим почленно левую и правую части уравнений системы. При этом q = -1 не является решением системы, так как правые части обоих уравнений системы отличны от нуля. Ответ: b1=72, b2=60,b3=50.
2. 
По теореме, обратной теореме Виета (если сумма двух чисел равна - p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения 
+px+ q=0). Решением системы является пара корней квадратного уравнения 
-31x+58=0. Решениями будут числа 2 и 29. Так как арифметическая прогрессия возрастающая по условию, то 
, 
=29 Ответ : 
4=11.
3. 
Решить эту систему можно либо способом подстановки, либо способом сложения Ответ: 550,400,250 тетрадей.
Вариант 2
1. При решении системы уравнений 
применяется формула разности кубов. Ответ: b1=3,5 , b2= -7, b 3=14.
2. 
Ответ: 
=87.
3. Пусть 
1 р. потратил рекламный агент в понедельник, во вторник – 
2р., в среду – 
3 и т. д. , тогда 
Так как 
, то 
2n2+9n-161=0 , n=7
Ответ: 7 дней.
Неравенства
Вариант 1
Найдите первый положительный член арифметической прогрессии: - 10,2 ; -9,5 ; … . Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 1. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии : 3, 5, 7, … , сумма которых не превосходит 120.Вариант 2
Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии : 15,6 ; 15 ; … . Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3, заключенных в промежутке от 100 до 200. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии: 17, 14, 11,… , при сложении которых получится положительное число.Ответы и комментарии к заданиям.
Вариант 1
1. 
n
; -10,2+0,7(n-1)
; n >15
, следовательно а16 – первый положительный член арифметической прогрессии Ответ: 
16 =0,3.
2. 
n = 7(n+1)+1 ; 7(n+1)+1
99 ; n
13 ; S13 = 741 Ответ : 741.
3. 
Ответ: 10.
Вариант 2
1. Ответ 
28 = -0,6.
2. 100<
n<200 ; 100<3n <200 ; 33
<n<66
; 34
n
66 ; Sn=
*33=4950 Ответ: 4950.
3. 
Ответ: 12.
Уравнения
Вариант 1
Является ли число -78 членом арифметической прогрессии (
n) , в которой 
1=20 и 
7= - 22. Решите уравнение 1+х+х2+х3+…+х99=0. Решите уравнение, в котором слагаемые в сумме, записанной в левой части уравнения, составляют арифметическую прогрессию: 1+7+13+…+х=280. Вариант 2
Ответы и комментарии к заданиям.
Вариант 1
1. 
7=
1+6 d ; d= -7 ; -78=20-7(n-1) ; n =15 ; n
N Ответ : да.
2. b1=1 ; q=x ; S100=
; S100=0 ; x?1 ; x= -1 Ответ :-1.
3. Sn=280 ; 
*n =280 ; 
1=1; d=6 ; 3n 2-2n-280=0 , так как n>0 , то n =10 ; 
10=55 Ответ: 55.
Вариант 2
1. 
; q=2 ; 2n -1=8 ; n=4 Ответ : q=2 ; n=4.
2. b1=1; q=x ; S101=
;S101=0 , так как x
1, то решений нет. Ответ: x
.
3. 1+4+7+…+28+xn=155 ; Sn+xn =155 ; 28=1+3(n-1) ; n=10 ; S10=145 ; 145+10x=155 ; x =1 Ответ: 1.
Среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел
Вариант 1
В арифметической прогрессии (
n) 
m+ n=72 ; 
m-n=8. Найдите 
m. В геометрической прогрессии (bn) b19*b27=32 . Чему равно b23? Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять арифметическую прогрессию. Вариант 2
В геометрической прогрессии (bn) bm+n=72 ; bm - n=8. Найдите bm. В арифметической прогрессии (
n) 
11+
25=39 . Чему равно 
18? Числа 
, b, c являются последовательными членами арифметической прогрессии. Докажите, что числа 
2+
b+b2, 
2+
c+c2, b2+ bc+c2также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Ответы и комментарии к заданиям.
Вариант 1
1. 
m=
m+ n - d* n ; 
m=
m - n + d *n ; 
m =
; 
m =
; 
m =40 . Каждый член арифметической прогрессии является средним арифметическим предыдущего и последующего членов, а также симметрично расположенных членов относительно данного. Ответ: 40.
2. b23=±
= ±
= ±4
, так как b 19 и b27 расположенны симметрично относительно b23 Ответ: ±4
.
3. Пусть 
1 
2 - длины катетов, а3 – длина гипотенузы, тогда 
+(
)2 = 
; 5
+2
1
3-3
=0 ; (
1-
3) (
1+
3)=0 ; (
1-
3) (
1+ d)=0 ; 
1+d=0; 
1= - d. Так как 
1>0, то d <0, что не удовлетворяет условию задачи, следовательно, 
1 = 
3, 
2=
(
3 +
3)=
3 ; 
1 : 
2 : 
3 = 
: 
: 1. Ответ : да, если они относятся, как 
: 
: 1. Например треугольники со сторонами 3,4,5 ; 6,8,10; 9,12,15; ….
Вариант 2
1. Каждый член геометрической прогрессии является средним геометрическим предыдущего и последующего членов, а также симметрично расположенных членов относительно данного.
bm= 
; bm= bm-n *qn ;| bm|=
, так как знаки членов последовательности могут чередоваться. bm=±
= ±24 . Ответ: ±24 .
2. 
18=
=19,5, так как 
11 и 
25 расположенны симметрично относительно a18 .Ответ:19,5.
3. По свойству арифметической прогрессии b = 
; 
2+
c+c2 =
; 
2+
c +c2 = 
; 
2+
c+ c2 = 
(
2+c2+(
+c )2) ; 
2+
c+c 2 = 
2+
c+c2 .
Изображение членов последовательности на координатной плоскости
Вариант 1
На рисунке (рисунок 1) изображены точками первые восемь членов арифметической прогрессии. Найдите
21. Изобразите на координатной плоскости первые пять членов арифметической прогрессии (
n) и напишите уравнение прямой, на которой лежат построенные точки, если известно, что 
10= - 10 ; 
15 = - 17,5. Известно, что b7= 
; b10= - 
. Найдите первые шесть членов геометрической прогрессии ( bn) и изобразите их на координатной плоскости. Определите характер монотонности функции, на графике которой лежат построенные точки. 
Рисунок 1
Вариант 2
На рисунке (рисунок 2) изображены точками первые пять членов арифметической прогрессии. Найдите
24. Известно, что с16=7 , с23=11,2 . Изобразите на координатной плоскости первые шесть членов арифметической прогрессии (сn) и напишите уравнение прямой на которой лежат построенные точки. Найдите первые пять членов геометрической прогрессии (dn) и изобразите их на координатной плоскости, если известно, что d6= 
; d9 = 
. Определите характер монотонности функции, на графике которой лежат построенные точки. 
Рисунок 2
Ответы и комментарии к заданиям.
Вариант 1
1. Так как 
n=kn +l, где k =d, l =
1 – d, то арифметическая прогрессия является линейной функцией y=kn + l на множестве натуральных чисел, d=
и равно 
, где 
- угол наклона прямой к оси абсцисс. Ответ : 
21 = 9
.
2. 
1=3,5 ; d= - 1,5 ; 
2=2 ; 
3=0,5 ; 
4= - 1 ; 
5= -2,5 ; y =dx+(
1-d ) ; y= - 1,5x +5 . Ответ: y= - 1,5 x+5.
3. q3=
; q=
; b 1= - 4 ; b2= - 2 ; b3 = - 1 ; b4 = - 
; b5 = - 
; b6 = - 
. Ответ: функция возрастает.
Вариант 2
1. d= - 
; Ответ: 
24= - 22,75.
2. c1 = - 2 ; d=0,6 ; c2= -1,4 ; c3 = -0,8 ; c4 = - 0,2 ; c 5= 0,4 ; c6 =1 ; y=0,6x -2,6 . Ответ: y=0,6 x-2,6.
3. q3=
; q=
; d 1=9 ; d2=3 ; d3=1 ; d 4 =
; d5=
. Ответ: функция убывает.
Текстовые задачи
Вариант 1
Клиент взял в банке кредит на сумму 800000 рублей под 12 % годовых на 3 года. Какова прибыль банка? При делении амебы, если она размножается без ограничений, получается две новые особи. Какое количество делений должно произойти для увеличения особей на 51100%? Число радиоактивных атомов по истечении определенного периода времени (период полураспада) уменьшается в два раза. Сколько процентов атомов радиоактивного йода останется спустя три периода полураспада?Вариант 2
Клиент открыл вклад на сумму 60000 рублей. Спустя два года он снял все проценты по вкладу, что в денежном эквиваленте составило 19350 рублей. Сколько процентов ежегодно начисляет банк по вкладу? При делении гидры, если она размножается без ограничений, получаются пять новых особей. По истечении некоторого времени одна особь составляла 0,16% от всех особей. Сколько делений произошло за это время? Число радиоактивных атомов по истечении определенного периода времени (период полураспада) уменьшается в два раза. Какая доля радиоактивных атомов некоторого элемента распадется за два периода полураспада?Ответы и комментарии к заданиям.
Вариант 1
1. b1=800000 ; q=1,12 ; b4= b1q 3 ;b4=800000*(1,12)3=1123942,4 р, следовательно прибыль банка 1123942,4-800000=323942,4р. Ответ: 323942,4р.
2. Ответ: 9делений.
3. N4=N 1q3 ; q=
; N4= 
1 . Ответ: 12,5%.
Вариант 2
1. b1=60000 ; b3=19350+60000=79350 ; b 3=b1 q2 ; q 2=
= 1,3225 ;q=1,15 . Значит процентная ставка по этому вкладу составляла 15% годовых. Ответ: 15%.
2. Ответ : 4 деления.
3. N3=N 1q2 ; q= 
; N3=
N 1 ; N1- N3=
N1 ; Ответ : 0,75.
Подведение итогов урока.
Повторяя арифметическую и геометрическую прогрессии, мы повторили способы решения систем уравнений; решение линейных неравенств, неравенств второй степени, двойных неравенств; среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел; функциональную зависимость.
Оценивается работа учащихся.
Литература:
Алгебра 9 класс, учебник, под редакцией . Алгебра и начала анализа, 9 и 11 выпускные классы, и др.. Алгебра, 9 класс. Дополнительные главы к школьному учебнику, , . Алгебра 9 класс, ГИА, 2010 г. Типовые тестовые задания, ФИПИ. .