Случайные события Методические указания к выполнению практической работы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов направления 38.03.01 всех форм обучения (стр. 2 )

Рассмотрим серию из п испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одной и той же вероятностью Р, причем результат каждого испытания не зависит от результатов остальных. Подобная постановка задачи называется схемой повторения испытаний. Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, в какой последовательности). Данное событие представляет собой сумму равновероятных несовместных событий, заключающихся в том, что событие А произошло в некоторых к испытаниях и не произошло в остальных  п – к испытаниях. Число таких событий равно числу сочетаний из п по к, то есть , а вероятность каждого из них: pkqn-k, где q = 1 – p – вероятность того, что в данном опыте событие А не произошло. Применяя теорему сложения для несовместных событий, получим формулу Бернулли:

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1. Подбрасывают два игральных кубика и записывают число очков на верхних гранях обоих кубиков. Записать полную группу событий в этом опыте.

Решение. Будем записывать возможные исходы опыта в виде (n, m), где n –  число очков, выпавших на верхней грани одного кубика, а m – число очков, выпавших на верхней грани другого кубика. Запишем результаты в виде таблицы (Таблица 1):

Таблица 1

Возможные исходы опыта

(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)	(6,1)
(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)	(6,2)
(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)	(6,3)
(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)	(6,4)
(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)	(6,5)
(1,6)	(2,6)	(3,6)	(4,6)	(5,6)	(6,6)

Из таблицы следует, что возможно 36 равновозможных элементарных исхода.

Задача 2. Опыт состоит в том, что стрелок производит 3 выстрела по мишени. Событие - стрелок попал в мишень при первом выстреле, - стрелок попал в мишень при втором выстреле, - стрелок попал в мишень при третьем выстреле.

Выразить через события , , следующие события:

А – произошло хотя бы одно попадание;

В – произошло три попадания;

С – стрелок сделал три промаха;

D – стрелок сделал хотя бы один промах;

Е -  стрелок сделал не меньше двух попаданий;

F – стрелок сделал не более одного попадания;

G - попадание после первого выстрела.

Решение. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает или  , или  . Это означает, что

Три попадания  будет тогда и только тогда, когда попадание наступит при каждом выстреле, т. е. события , , осуществляются все вместе:

Три промаха будет тогда и только тогда, когда стрелок промахнется при каждом выстреле, т. е. события , , осуществляются все вместе:

.

Один промах будет тогда и только тогда, если стрелок промахнется хотя бы при одном выстреле, т. е. осуществится либо событие , либо событие  , либо событие  :

,

Рассуждая аналогично, заключаем, что:

,

,

Задача 3. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 шара красных и 6 голубых. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение. Обозначим событие А - извлеченный шар оказался голубым. По классическому определению вероятности получаем:

Задача 4. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Решение. Обозначим событие А  - число на взятой карточке кратно 5. В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (это извлечение карточек с числами 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно, по классическому определению вероятности получаем:

Задача 5. Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?

Решение. Обозначим событие А – появление шестерки при бросании кубика. По статистическому определению вероятности получаем:

Задача 6. Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 5 человек?

Решение. Очевидно, что на скамейке все время рассаживается 5 человек (т. е. в каждой возможной комбинации участвуют все заданные элементы), но порядок размещения на скамейке может быть различным. Следовательно, все элементы входят в каждую комбинацию, возможные комбинации отличаются только порядком образующих их элементов, т. е. это - перестановки. По формуле перестановки при k=5 получаем:

 

Задача 7. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности (директора, менеджера и бухгалтера) из десяти кандидатов?

Решение. По условию имеется 10 различных кандидатов (т. е. задано множество из 10 различных элементов). Требуется составить все возможные комбинации по 3 кандидата (элемента) в каждой комбинации. Причем, т. к. должности различны, то важен не только состав комбинации, но и порядок элементов в ней. Возможные комбинации отличаются порядком сотрудников (элементов). Следовательно, здесь имеет место размещение. По формуле размещения при k = 10, m = 3, получим: