Случайные события Методические указания к выполнению практической работы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов направления 38.03.01 всех форм обучения (стр. 4 )

Поскольку объем продукции второго завода в 3 раза больше объема продукции второго, то

Также, по  условию, задано:

Р(А| )=0,02;  Р(А| )=0,01.

Воспользовавшись формулой Байеса, получаем:

Задача 16. Монету подбрасывают шесть раз. Какова вероятность того, что герб выпадет только два раза.

Решение. Для вычисления искомой вероятности применим формулу Бернулли. Число испытаний n=6, а число благоприятствующих исходов k=2. Вероятность события (выпадения герба) p=0.5; q=1-p=0.5, тогда по формуле Бернулле, получаем:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

Задача 1. Опыт состоит в подбрасывании симметричной монеты. Событие А - "появление герба", событие В - "появление цифры". Являются ли данные события несовместными?

Задача 2. Опыт состоит в том, что производится выстрел по мишени. События А - "попадание", событие В - "промах". Являются ли данные события равновозможными?

Задача 3. Опыт состоит в подбрасывании двух симметричных монет. Событие А - "появление двух гербов", событие В - "появление двух цифр". Образуют ли полную группу событий эти события?

Задача 4. Подбрасываются два игральных кубика и подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоящего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

Задача 5. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 7 очков или 8 очков?

Задача 6. При стрельбе по мишени частота попаданий W= 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Задача 7. Проделывают опыт - подбрасывание игрального кубика. События: -  выпадение k очков, А -  выпадение четного числа очков, В - выпадение нечетного числа очков, С - выпадение числа очков, кратного трем, D - выпадение числа очков, большего трех. Выразить события А, В, С и D через события .

Задача 8. Симметричная монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза?

Задача 9. В урне находятся 8 красных и 6 голубых шаров. Из урны последовательно без возвращения извлекается 3 шара. Найти вероятность того, что все 3 шара голубые.

Задача 10. Имеются две урны с шарами трех цветов. В первой находятся 2 голубых, 3 красных, 5 зеленых, а во второй - 4 голубых, 2 красных и 4 зеленых. Из каждой урны извлекают по одному шару и сравнивают их цвета. Найти вероятность того, что цвета вынутых шаров одинаковы.

Задача 11. В группе учится 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене  отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки.  Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

Задача 12. Из букв слова ротор, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд по порядку извлечения. Какова вероятность того, что получится слово тор?

Задача 13. Изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в 3 раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 2%, у второго - 1 %. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и направили в продажу. Какова вероятность того, что приобретено изделие со второго завода, если оно оказалось бракованным?

Задача 14. В пяти ящиках находятся одинаковые по весу и размерам шары. Два ящика содержат  по 6 голубых и по 4 красных шара, в двух других ящиках содержится по 8 голубых и по 2 красных шара,  в одном ящике - 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Извлеченный шар оказался голубым. Какова вероятность того, что голубой шар извлечен из ящика, где лежало  6 голубых и  4 красных шара?

Задача 15. Монету подбрасывают шесть раз. Какова вероятность того, что герб выпадет только два раза.

Задача 16. Из n=100 аккумуляторов за год хранения k=7 выходит из строя. Наудачу выбирают m=5 аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l=3 исправных.

Задача 17. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:

а) три элемента;

б) не менее четырех элементов;

в) хотя бы один элемент.

Задача 18. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго - 0,03, для третьего - 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной?

ТИПОВОЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

В ящике 25 стандартных деталей и 5 бракованных. Вытащили три детали. Событие А1 – первая деталь бракованная,  А2 – вторая деталь бракованная,  А3 – третья деталь бракованная. Записать событие: В – одна деталь бракованная и одна стандартная. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков не превосходит четырех. На один ряд, состоящий из пять мест, случайным образом рассаживаются пять учеников. Найти вероятность того, что три определенных ученика окажутся рядом. В урне 25 шаров, из них 4 черных. Наудачу взято 5 шаров. Найти вероятность того, что среди взятых шаров не более одного черного. На сборку поступают детали с трех станков. Известно, что первый станок дает 3% брака, второй –2%, третий –4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого станка поступило 2000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника две партии из четырех или четыре из восьми? Ничейные исходы не учитываются.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.        Предмет теории вероятностей.  Виды событий.

2.        Алгебра событий: сумма, произведение и разность событий.

3.        Понятие совместных, противоположных и равновозможных событий. Схема случаев.

4.        Классическое определение вероятности.

5.        Статистическое определение вероятности.

6.        Основные формулы комбинаторики.

7.        Теорема сложения вероятностей. Сумма вероятностей противоположных событий.

8.        Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. 

9.        Формула полной вероятности.

10.        Формула Байеса.

11.        Формула Бернулли.

ВРЕМЯ, ОТВЕДЕННОЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Подготовка к работе	2,0 акад. час
Решение типовых задач	8,0 акад. час
Контрольная работа	2,0 акад. час

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие для студ. втузов / , . — 5-е изд., испр. — М.: Издательский центр «Академия», 2003. — 448 с. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. - М.: МАТИ-РГТУ им. , 2011. - 168 с. Курс теории вероятностей: Учебник. - Изд. 8-е, испр. и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. 3-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2008. -288 с. http://sibe. ru/Library/

СОДЕРЖАНИЕ

Основные понятия        2

Решение типовых задач        8

Задачи для самоподготовки        16

Типовой вариант контрольной работы        19

Вопросы для самоконтроля        20

Время, отведенное на выполнение работы        20

Рекомендуемая литература        20

Содержание        21