Задача 8. Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?

Решение. По условию имеется 10 различных кандидатов (т. е. задано множество из 10 различных элементов). Требуется составить все возможные комбинации по 3 кандидата (элемента) в каждой комбинации. Причем, т. к. должности одинаковы, то важен только состав комбинации, порядок элементов в ней роли не играет. Расчет возможного числа комбинаций проводим по формуле сочетаний при k=10 и m=3:

 

Задача 9. На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, К, М, Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МИНСК?

Решение. Обозначим событие А - получение слова МИНСК при случайной раскладке карточек.

Пять карточек можно рассматривать как пять различных элементов, причем в каждой комбинации (в каждой раскладке) участвуют все 5 элементов. Тогда число всех возможных комбинаций, т. е. число равновозможных исходов, определяется как число перестановок из 5:

Благоприятствует данному событию только 1 исход, m=1. Следовательно

Задача 10. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 окажутся стандартными.

Решение. Обозначим событие A – из 6 выбранных наудачу деталей 4 детали оказались стандартными.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. к. порядок выбора деталей не играет роли, а важно только какие детали оказались выбранными, используем формулу для сочетаний при k=10 и m=6:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

 

Определяем число исходов, благоприятствующих событию А - среди 6 взятых деталей 4 стандартных. Четыре стандартные детали из семи стандартных можно взять  способами, при этом остальные 6 - 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 - 7 = 3 нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно (правилу произведения):

Искомая вероятность события A равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Задача 11. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй - 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

Решение. Обозначим событие А - попадание в первый сектор и событие В – попадание во второй сектор. Эти события  несовместны, т. к. попадание в один сектор исключает попадание во второй, поэтому применима формула сложения вероятностей несовместных событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,4 + 0,3 = 0,7.

Задача 12. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а для второго - 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?

Решение. Обозначим событие А - попадание первого спортсмена в мишень, событие В - попадание второго спортсмена в мишень, событие С - попадание хотя бы одного из спортсменов в мишень. Очевидно, что А + В = С, причем события А и В совместны. В соответствии с теоремой сложения, получаем

P(C) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Поскольку А и В - независимые события, то можно записать:

Р(С) = Р(А)+ Р(В) - Р(А)Р(В) = (0,85 + 0,8) - 0,85·0,8 = 0,97 .

Задача 13. Из урны, содержащей 3 голубых и 2 красных шара, по схеме случайного выбора без возвращения последовательно извлекаются шары. Найти вероятность того, что красный шар впервые появится при k-ом испытании (k = 1, 2, 3,4).

Решение. Ведем обозначения для событий: событие - появился красный шар при k-ом испытании, событие - впервые красный шар появился при k-ом испытании (k = 1,2,3,4). Запишем события

Красный шар впервые появился при первом испытании:

Красный шар впервые появился при втором испытании:

Красный шар впервые появился при третьем испытании:

Красный шар впервые появился при третьем испытании:

.

)=

Задача 14. В пяти ящиках находятся одинаковые по размерам и весу шары. В двух ящиках - по 6 голубых и 4 красных шара, в двух других ящиках - по 8 голубых и 2 красных шара, в одном ящике  - 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным?

Решение. Введем обозначения: событие А - извлечен красный шар, событие - в ящике 6 голубых и 4 красных шара, событие - в ящике 8 голубых и 2 красных шара, событие - в ящике 2 голубых и 8 красных шаров.

Из условия задачи следует, что:

Вероятность вынуть красный шар, если известно, что взят ящик первого состава , равна:

Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик второго состава (, равна:

Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик третьего состава (, равна:

В соответствии с формулой полной вероятности при n = 3 находим искомую вероятность:

Задача 15. Изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в 3 раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 2%, у второго - 1 %. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и направили в продажу. Какова вероятность того, что приобретено изделие со второго завода, если оно оказалось бракованным?

Решение. Введем обозначения: событие  А – приобретенное изделие оказалось бракованным, событие – изделие изготовлено на первом заводе, событие - изделие изготовлено на втором заводе.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4