УДК 514.18
К ВОПРОСУ О СИСТЕМАТИЗАЦИИ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
,
Филиал КузГТУ в г. Белово
Существующие чертежи, прежде всего, создаются для выполнения по ним деталей машин и сооружений, поэтому по ним необходимо определять длины отрезков, величины углов, площади фигур и т. д. Для того, чтобы определить длину отрезка или величину угла, их надо сравнить с эталонами – линейкой или транспортиром. А как измерить длину отрезка прямой линии или угла общего положения на чертеже? Для решения метрических задач на чертеже необходимо преобразовать его так, чтобы измеряемый отрезок или угол не искажался в проекциях. Таким образом, под метрическими задачами будем понимать преобразование отрезков, углов и плоских фигур в положения, когда они не искажаются и изображаются в натуральную величину и к ним можно прикладывать эталоны для сравнения. Возникает вопрос, какие преобразования позволяют определять натуральные величины? Известно, что отрезки прямых линий, плоскости углов и фигур изображаются в натуральную величину, когда они параллельны плоскости проекций. Интерес представляет построение самих отрезков и углов, определяющих величину расстояний и углов. Для этого необходимо уметь строить перпендикуляры к прямым линиям и плоскостям. Расстояние до поверхностей определяются по нормалям к поверхности. Для построения разверток необходимо знать законы преобразования линий поверхности в линии на плоскости, которые также зависят от касательных плоскостей. Поэтому для начала рассмотрим построение перпендикуляров, касательных и нормалей. Из всего разнообразия метрических задач можно выделить задачи на измерение расстояний, величин углов и комплексные задачи на построение разверток поверхностей, основу которых составляет ключевые задачи: проведение перпендикуляра к прямой линии и плоскости и определение натуральной величины отрезка прямой линии. Для решения метрических задач можно использовать различные алгоритмы построений с использованием преобразования чертежа. Наиболее эффективным является выбор более рациональных способов [1].
Можно выделить следующие задачи на измерение расстояний: 1М – определение расстояния от точки до прямой линии, 2М – определение расстояния от точки до плоскости, 3М – определение расстояния между параллельными прямыми линиями, 4М – определение расстояния между параллельными плоскостями, 5М – определение расстояния между прямой линией и параллельной ей плоскостью, 6М – определение расстояния между скрещивающимися прямыми линиями. Решения указанных задач связаны и могут быть сведены к ключевым задачам на определение натуральной величины отрезка прямой линии и проведения перпендикуляра к плоскости. Схема решения метрических задач на измерение расстояний приведена на рис. 1.
Рис. 1. Схема решения метрических задач
на измерение расстояний
Для определения расстояния от точки до прямой линии через эту точку проведем плоскость, перпендикулярную к прямой линии. Эта задача является обратной задаче на проведение перпендикуляра к плоскости. Далее определим точку пересечения проведенной плоскости с прямой линией. Затем методом прямоугольного треугольника определим натуральную величину отрезка. Расстояние от точки до плоскости (задача 1М) измеряется по перпендикуляру, опущенному из точки на плоскость. Для того, чтобы определить расстояние между параллельными прямыми линиями общего положения, можно на одной из прямых, взять точку и далее решать задачу 1М на определение расстояния от точки до прямой линии. Для того, чтобы определить расстояние между параллельными плоскостями общего положения, можно в одной из плоскостей взять точку и далее решать задачу 2М на определение расстояния от точки до плоскости. Для определения расстояния между прямой линией и параллельной ей плоскостью, можно на прямой линии взять точку и далее решать задачу 2М на определение расстояния от точки до плоскости. Расстояние между скрещивающимися прямыми линиями и можно определить следующим образом. Через любую точку одной прямой линии проведем прямую линию, параллельную другой прямой линии. Полученные прямые линии определяют некоторую плоскость. Расстояние между прямой линией и плоскостью будет искомым. Таким образом, задача 6М сведена к задаче 5М. Эту задачу можно свести и к задаче 4М, если через скрещивающиеся прямые линии провести плоскости параллелизма. Если скрещивающиеся прямые линии в одной плоскости проекций являются параллельными линиями, то на этой проекции можно измерить расстояние между ними, так как плоскости параллелизма занимают проецирующее положение. Если одна из прямых линий занимает проецирующее положение, то на чертеже с помощью простых построений можно определить кратчайшее расстояние и его натуральную величину. Если скрещивающиеся прямые линии занимают общее положение по отношению к плоскостям проекций, то, дважды используя метод перемены плоскостей проекций или другой способ преобразования чертежа, можно сделать одну прямую линию проецирующей и определить расстояние между ними.
Из двух смежных углов, которые получаются при пересечении двух прямых линий, будем условно рассматривать меньший угол по величине. Угол между скрещивающимися прямыми линиями определяется как угол между пересекающимися прямыми линиями. Для этого через любую точку на одной прямой линии проводится линия параллельно заданной прямой линии. B общем случае угол между двумя прямыми линиями может проецироваться в виде различных углов от 0° до 180° (0° ≤ б ≤180°), и, наоборот, угол бґ может быть проекцией любого угла в пределах от 0° до 180° (0° ≤ бґ ≤ 180°). Если обе стороны угла параллельны плоскости проекций, то на эту плоскость проекций угол проецируется без искажения в натуральную величину. Можно выделить следующие задачи на измерение углов: 1У – определение угла между двумя прямыми линиями, 2У – определение угла между прямой линией и плоскостью, 3У – определение угла между двумя плоскостями. Решения указанных задач связаны и могут быть сведены к ключевым задачам на определение натуральной величины отрезка прямой линии и проведения перпендикуляра к плоскости. Схема решения метрических задач на измерение углов приведена на рис. 2.
Рис. 2. Схема решения метрических задач на измерение углов
В общем случае для того, чтобы определить величину угла между прямыми линиями, необходимо плоскость угла преобразовать в плоскость уровня. Наиболее рациональным методом для решения этой задачи является вращение вокруг линии уровня. Угол между прямой линией и плоскостью определяется как угол между прямой линией и её проекцией на эту плоскость. Угол между прямой линией и плоскостью проекций (р1 или р2) определяется как угол между натуральной величиной прямой и её проекцией на эту плоскость проекций. Если необходимо определить угол между прямой линией и плоскостью общего положения, то можно искомый угол определять как дополнительный угол до 90° угла между прямой линией и перпендикуляром к этой плоскости. Для этого из любой точки прямой линии опускается перпендикуляр к плоскости, а далее определяется величина угла между прямой линией ими перпендикуляром. Двугранный угол между двумя плоскостями и измеряется линейным углом, образованный перпендикулярами в заданных плоскостях к ребру двугранного угла. Если заданы проецирующие плоскости, а значит и ребро двугранного угла занимает проецирующее положение, то угол можно измерить непосредственно на чертеже без дополнительных построений. Для определения угла между двумя плоскостями общего положения можно преобразовать чертеж так, чтобы ребро стало проецирующим. При определении угла между заданной плоскостью и плоскостью проекций проводят линию наибольшего наклона. Линией наибольшего наклона называется линия плоскости, проходящая перпендикулярно к линии уровня. Линией наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската, проходящей перпендикулярно к горизонтали. Угол между линией наибольшего наклона и плоскостью проекций является углом наклона заданной плоскости и плоскости проекций. Эта задача может рационально решаться методом прямоугольного треугольника и методом перемены плоскостей проекций. Вместо угла между двумя плоскостями можно определять угол между перпендикулярами к этим плоскостям и дополнять его до 180.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Начертательная геометрия: учеб. пособие / Филиал КузГТУ в г. Белово. – Кемерово, 2012. – 135 с.
