Тема: Понятие уравнения с параметрами (стр. 2 )

Ответ. ;

Пример 3. При каких значениях т ровно один из корней уравнения равен нулю: ?

Решение. Если то имеем:

Проверим, не равняется ли второй корень уравнения нулю.

Ответ. .

Пример 4. При каких значениях параметра a уравнения и имеют общие корни?

Решение. Решим каждое уравнение при (если , то первое уравнение не имеет решения, что противоречит условию)

Приравняем полученные корни и получаем, что .

Ответ. .

Итак, мы познакомились с понятием уравнения с параметром и немного «вдохнули аромат» заданий с параметрами.

Домашнее задание.

Дано уравнение . Напишите уравнение, которое получается при: а); б);  в);  г) . При каком значении параметра число 3 является корнем уравнения

Ответ.  1) а); б) ; в); г) , которое не имеет корней.

Урок 2

Тема: Решение линейных уравнений с параметрами.

Цели урока: ввести алгоритм решения линейных уравнений с параметром; формировать умение решать линейные уравнения с параметром; развитие логического мышления, умение работать в проблемной ситуации; активизация познавательной и творческой деятельности.

Ход урока.

Устная работа.

Решите устно: 1) Определите, при каких значениях а число 5 является корнем уравнения:

2) При каких значениях имеют общий корень уравнения:

Ответы:

Объяснение нового материала.

Линейным уравнением  называется уравнение вида , где  - некоторые действительные числа, х – переменная.

В зависимости от коэффициента а, зависит и решение этого уравнения.

При уравнение не имеет корней, так как нет такого числа, которое при умножении на нуль, даст результат, отличный от нуля.

При уравнение имеет бесконечно много решений, и решением является любое действительное число.

При мы можем обе части уравнения разделить на а, имеем единственный корень, равный  .

Итак, получили следующую схему:

Схема 1 «Решение линейных уравнений»

Итак, на прошлом уроке мы говорили, что  можно по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра –на подмножества, а затем заданное уравнение решить на каждом из этих подмножеств. Для разбиения множества значений параметра на подмножества полезно воспользоваться контрольными или особыми  значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения.

При решении линейных уравнений с параметрами качественное изменение происходит при переходе коэффициента а через нуль. То есть контрольным(и) значением(ями) будут те значения коэффициента при переменной х, при которых он обращается в нуль, так как при таких значениях коэффициента  невозможно деление на коэффициент при х (а при иных значениях параметра такое деление возможно; следовательно, меняется процедура решения уравне­ния, в этом и состоит качественное изменение уравнения.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Данное уравнение заменим равносильным ему:

Это уравнение является линейным относительно переменной х, значит здесь контрольными будут те значения параметра, при кото­рых коэффициент при х обращается в 0. Рассмотрим выражение .

При выражение (а значит и уравнение) не имеет смысла.

При уравнение принимает вид , то есть не имеет решений.

При уравнение имеет единственный корень .

Ответ. При уравнение не имеет смысла, при решений нет, при .

Пример  2. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение является линейным относительно переменной х, значит здесь контрольными будут те значения параметра, при кото­рых коэффициент при х обращается в 0. То есть рассмотрим случаи и .

При заданное уравнение принимает вид: ; это уравнение не имеет корней.

При заданное уравнение принимает вид: ; этому уравнению удовлетворяют любые значения переменной х.

Если же параметр выбирается не равный 0 и 2, то коэффици­ент при х отличен от нуля и, следовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравнения. Получим:

Ответ. При нет корней, при х – любое действительное число, при