Тема: Понятие уравнения с параметрами (стр. 6 )

а) Система имеет бесконечное множество решений, если ,

б) Система имеет единственное решение, если ,

(Обратите внимание на то, что уравнения поменяли местами, так как число неопределенно. В нашем случае является решением в случае б), чтобы не было недоумений с делением на нуль, лучше вторым считать то уравнение, в котором все коэффициенты определены и не равны нулю)

Ответ: а) если то система имеет бесконечное множество решений; б) если то решение единственное.

Пример 2. Решите систему уравнений

Решение. Данная система уравнений является линейной. Воспользуемся данными схемы 2.

а) Система имеет единственное решение, если , т. е. .

Решим систему при 6

Найдем х, воспользовавшись любым уравнением системы6

Итак, при решением системы является пара .

б) Система не имеет решений, если , т. е. при .

в) Система имеет бесконечно много решений, если , т. е. .

Пары вида , где - любое число, являются решением системы в этом случае.

Ответ: если то решений нет; если , то решений бесконечное множество, если и n – любое, то решение единственное .

Пример 3. (Предложите ученикам выполнить это задание самостоятельно с последующей проверкой.) Решите систему уравнений

Решение.  Данная система уравнений – линейная. Так как , система имеет единственное решение. Найдем его:

Найдем х:

Ответ. Система имеет единственное решение .

Пример 4. Графики функций и пересекаются в точке с абсциссой, равной –2. Найдите ординату точки пересечения.

Решение. Так как графики пересекаются в точке с абсциссой, равной -2, то является решением следующей  системы:

Тогда имеем:

Найдем ординату у, подставив х и а в любое уравнение системы:

Ответ: – 2.

Пример 5. (Предложите ученикам выполнить это задание самостоятельно с последующей проверкой.) Графики функций и симметричны относительно оси абсцисс.

а) Найдите b и k.

б) Найдите точку пересечения этих графиков.

Решение. Графики симметричны относительно оси абсцисс, следовательно, , а графики пересекаются в некоторой точке . Получим систему:

В результате точка пересечения графиков и  .

Ответ: а) б)

Пример 6. Решите уравнение .

Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательно, то можно перейти к системе:

Эта система имеет решение, если

Ответ. Если , то ; если, то решений нет.

(Предложите ученикам решить самостоятельно примеры 7 и 8, а затем подробно разобрать решение на доске.)

Пример 7. Решите уравнение

Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательно, то можно перейти к системе:

Данная система имеет решение только  в том случае, если .

Ответ. Если , то , если , то решений нет.

Пример 8. Решите уравнение .

Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательно, то можно перейти к системе:

 

Данная система имеет решение, если .

Ответ. Если , то , если , то решений нет.

Решение задач. Решите систему уравнений

Найдите все значения параметра ,  при которых система

имеет единственное решение:

Найдите все значения параметра ,  при которых система

имеет бесконечное множество решений

Найдите все значения параметра ,  при которых система

не  имеет решений.

В зависимости от параметра выясните взаимное расположение прямых: а) б) в)

Ответы.  1) при  х – любое, ;  при решений нет; при 2) при ; 3) при ; 4) при .

5)  а) при прямые параллельны; при прямые пересекаются; б)при прямые параллельны; при прямые пересекаются ; в) при прямые совпадают, при прямые параллельны, при прямые пересекаются.

Самостоятельная работа по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами»

Вариант 1