ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

по курсу: "Аналитическая геометрия и линейная алгебра"

Специальность: "Компьютерная физика", дневная форма обучения, 1 семестр

Составитель: доцент

1.

Понятие матрицы. Операции сложения матриц, умножения матрицы на число, произведения матриц и их свойства.

2.

Элементарные преобразования строк матрицы. Ранг матрицы. Понятие обратной матрицы. Первый способ вычисления обратной матрицы.

3.

Определитель квадратной матрицы и его свойства. Методы вычисления определителей. Определитель произведения матриц.

4.

Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о существовании обратной матрицы. Второй способ вычисления обратной матрицы.

5.

Понятие геометрического вектора. Операция сложения векторов, умножения вектора на число и их свойства. Линейное пространство геометрических векторов.

6.

Базис на прямой, на плоскости, в пространстве. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.

7.

Аффинная система координат, прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Преобразования координат на плоскости.

8.

Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение векторов и его приложения.

9.

Смешанное произведение векторов и его приложения. Критерии коллинеарности, компланарности и ортогональности векторов.

10.

Двойное векторное произведение. Тождество Якоби.

11.

Каноническое и параметрическое уравнения прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой на плоскости.

12.

Взаимное расположение прямых на плоскости. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору. Угол между прямыми. Вычисление расстояния от точки до прямой.

13.

Параметрические уравнения плоскости. Уравнение плоскости, заданной точкой и двумя неколлинеарными векторами. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости.

14.

Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Преобразование общих уравнений прямой к каноническому виду.

15.

Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.

16.

Определение эллипса. Вывод канонического уравнения эллипса.  Фокальные радиусы эллипса. Свойства эллипса и его изображение в системе координат.

17.

Определение гиперболы. Вывод канонического уравнения гиперболы.  Фокальные радиусы гиперболы, асимптоты. Свойства гиперболы и ее изображение в системе координат.

18.

Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.  Фокальный параметр параболы. Свойства параболы и ее изображение в системе координат.

19.

Директрисы и эксцентриситет эллипса, гиперболы, параболы. Директориальное свойство линий второго порядка.

20.

Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы. Параметрическое уравнение эллипса. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

21.

Классификация поверхностей второго порядка, их изображения.

22.

Метод сечений для исследования формы поверхности второго порядка. Эллипсоид и его свойства. Однополостный и двуполостный гиперболоиды. Параболоиды и их свойства.

23.

Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом. Примеры линейных пространств.

24.

Понятие линейно зависимой и линейно независимой системы векторов линейного пространства. Теоремы о линейной зависимости.

25.

Базис и размерность линейного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора в линейном пространстве.

26.

Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса линейного пространства к другому. Матрица перехода.

27.

Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств.

28.

Линейная оболочка. Формула размерности Грассмана.