Олимпиада по геометрии в 7 классе 2015-2016
1. Длины сторон треугольника относятся как 2:3:4. Найти эти длины, если периметр треугольника равен 18,27.
2. Отрезок, длина которого равна а, разделён произвольной точкой на два отрезка. Найти расстояние между серединами этих отрезков.
3. В треугольнике АВС угол А=80°, угол С=62° . Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найти величину угла АОС.
4. Найти углы равнобедренного треугольника, если один из них равен 32° .
5. Один из смежных углов в 14 раз меньше другого. Найти оба угла.
6. Найти углы треугольника, если они относятся как 2:5:13.
7. Один из смежных углов на 112° больше другого. Найти оба угла.
8. Отрезок, равный 30 см, разделён на 3 неравные части. Расстояние между серединами крайних равно 16 см. Найти длину средней части.
9. Основание равнобедренного треугольника 12. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного на 3 больше периметра другого. Найти боковую сторону данного треугольника.
10. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 16°. Найти острые углы треугольника.
Олимпиада по геометрии в 8 классе 2015-2016
1. Отрезок АК является биссектрисой треугольника АВС. Найти длины ВК и КС, если АВ=14, ВС=20, АС=21.
2. Стороны параллелограмма 9 и 2. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найти их.
3. В трапеции АВСК с большим основанием АК диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне СК. Угол ВАС равен углу САК. Найти длину АК, если периметр трапеции равен 20, а угол К равен 60° .
4. Центр вписанной окружности делит высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, на отрезки 5 и 3, считая от вершины. Определить стороны треугольника.
5. Основания трапеции 3 и 24, боковые стороны 10 и 17. Вычислить площадь трапеции.
6. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 7. Найти основание треугольника.
7. Найти углы выпуклого пятиугольника, если они пропорциональны числам 4; 5; 6; 7; 8.
8. Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135° , а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,2 и 3,6. Вычислить площадь трапеции.
9. Высоты параллелограмма 5 и 4, а периметр 42. Вычислить площадь параллелограмма.
10. Периметр треугольника АВС равен 55. В этот треугольник вписан ромб АМКР. Найти стороны треугольника, если ВК=6, КС=5.
Олимпиада по геометрии в 9 классе 2015-2016
1. В равнобедренную трапецию с боковой стороной 9 вписана окружность радиуса 4. Вычислить площадь круга.
2. Определить площадь треугольника, если две его стороны 27 и 29, а медиана третьей 26.
3.Вычислить площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки 25,6 и 14,4.
4. В треугольник АВС вписана окружность. С1 и В1- точки её касания со сторонами АВ и АС соответственно. Вычислить радиусы вписанной и описанной окружностей, если АС1=7, ВС1=6, СВ1=8.
5. Найти площадь четырёхугольника АВСК, если АВ=5, ВС=13, СК=9, АК=15, АС=12.
6. Найти меньшую высоту треугольника со сторонами 10, 24, 26.
7. Угол между соседними сторонами правильного многоугольника равен 160° . Найти число сторон многоугольника.
8. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу на части 5 и 12. Вычислить периметр треугольника.
9. Вычислить площадь трапеции с боковыми сторонами 13 и 20 и основаниями 6 и 27.
10. Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС взята точка М так, что угол МВС равен 30° , угол МСВ равен 10° . Найти угол АМС, если угол ВАС равен 80° .
Олимпиада по геометрии в 10 классе 2015-2016
1. Найти длину окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с.
2. В треугольнике две стороны 10 и 12, а угол между ними 60° . Найти длину биссектрисы этого угла.
3. Определить площадь треугольника, если его основание 12, а углы при основании 30° и 45°.
4. Круги радиусов 1, 6, 14 касаются друг друга внешним образом. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в центрах данных кругов.
5. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, площади которых 6 и 54. Найти гипотенузу.
6. Из вершины прямого угла С прямоугольного треугольника АВС проведены высота СН и медиана СМ. Найти острые углы треугольника АВС, если СН - биссектриса треугольника АСМ.
7. В трапецию вписана окружность радиуса 6. Точка касания делит нижнее основание на отрезки 9 и 12. Найти стороны и площадь трапеции.
8. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2, а больший катет равен 4
. Найти радиус описанной окружности.
9. В треугольнике АВС длина ВС=34. Перпендикуляр, проведённый из середины стороны ВС к прямой АС, делит сторону АС на отрезки АК=25 и КС=15. Вычислить площадь треугольника АВС.
10. Найти стороны прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности = 2, а радиус описанной окружности =5.
