Конрольная работа № 1 (вариант 1) Линейная алгебра и аналитическая геометрия

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 1)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)

.

1.  На векторах построен параллелограмм. Найти:

  a)  угол между диагоналями параллелограмма;

  b)  площадь параллелограмма;

  c)  высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;

  d)  Пр.

 

2.  В треугольнике АВС: А(3;1),  В(-3; 5),  С(-4; 2) найти

  1) длину стороны АВ;

  2)  внутренний угол А;

  3) уравнение высоты, проведенной через точку С;

  4) уравнение медианы, проведенной через точку С;   5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.

3.  По известным вершинам пирамиды  А1(8,6,4), А2(10,5,5), А3(5,6,8), А4(8,10,7)

  средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами А1А2 и А1А4; площадь грани А1А2А3; проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4; объем пирамиды.

4. По четырем точкам задачи 3 составить:

уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3; канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4; уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4; угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.

5.  a)  Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями

  координат, зная, что сумма и разность полуосей соответственно равны 7 и 3.

  Сделать чертеж.

  b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с

  осями  координат, зная, расстояние между вершинами равно 30, расстояние

  между фокусами равно 34. Сделать чертеж.

6.  Даны матрицы Q, S, D, G:

  найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;

  убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;

  найти Q-1 и сделать проверку.

  ,  ,  , 

7. а)  Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

 

  b)  Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать

  фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы

  и записать общее решение в векторной форме: .

8. Доказать, что векторы , ,    образуют базис и найти

  координаты вектора  в этом базисе. Сделать проверку.

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 2)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)

.

1.  На векторах построен параллелограмм. Найти:

  a)  угол между диагоналями параллелограмма;

  b)  площадь параллелограмма;

  c)  высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;

  d)  Пр.

 

2.  В треугольнике АВС: А(10; 9), В(3; 0), С(4; 1)  найти

  1) длину стороны АВ;

  2)  внутренний угол А;

  3) уравнение высоты, проведенной через точку С;

  4) уравнение медианы, проведенной через точку С;   5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.

3. По известным вершинам пирамиды  А1(4,4,10), А2(7,10,2), А3(2,8,4), А4(9,6,9)

  средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами А1А2 и А1А4; площадь грани А1А2А3; проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4; объем пирамиды.

4. По четырем точкам задачи 3 составить:

уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3; канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4; уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4; угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.

5. a)  Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями

  координат, зная, что большая ось равна 10, фокусное расстояние равно 8.

  Сделать чертеж

  b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают

  осями  координат, зная, что вещественная полуось равна 4, а вершины делят

  расстояние между центром и фокусами в отношении 2:1. Сделать чертеж.

6.  Даны матрицы Q, S, D, G:

  найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;

  убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;

  найти Q-1 и сделать проверку.

  ,  ,  , 

7.  a)  Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

 

  b)  Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать

  фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы

  и записать общее решение в векторной форме: .

8. Доказать, что векторы , , образуют базис и найти

  координаты вектора  в этом базисе. Сделать проверку.

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 3)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)

.

1.  На векторах построен параллелограмм. Найти:

  a)  угол между диагоналями параллелограмма;

  b)  площадь параллелограмма;

  c)  высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;

  d)  Пр.

 

2. В треугольнике АВС: А(9;2), В(2; 8), C(3;3)  найти

  1) длину стороны АВ;

  2)  внутренний угол А;

  3) уравнение высоты, проведенной через точку С;

  4) уравнение медианы, проведенной через точку С;   5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.

3. По известным вершинам пирамиды  А1(4,6,5), А2(6,9,4), А3(2,10,10), А4(7,5,9)

  средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами А1А2 и А1А4; площадь грани А1А2А3; проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4; объем пирамиды.

4. По четырем точкам задачи 3 составить:

уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3; канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4; уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4; угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.

5. a)  Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями

  координат, зная, что малая полуось равна 8, уравнения директрис равны

  . Сделать чертеж.

Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с

  осями координат, зная, что фокусное расстояние равно 26, эксцентриситет

    Сделать чертеж.

6.  Даны матрицы Q, S, D, G:

  найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;

  убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;

  найти Q-1 и сделать проверку.

  ,  ,  , 

7. a)  Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

 

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать

  фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы

  и записать общее решение в векторной форме: .

8. Доказать, что векторы ,   образуют базис и найти

  координаты вектора  в этом базисе. Сделать проверку.

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 4)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)

.

1.  На векторах построен параллелограмм. Найти:

  a)  угол между диагоналями параллелограмма;

  b)  площадь параллелограмма;

  c)  высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;

  d)  Пр.

 

2.  В треугольнике АВС: A(5; -1), B(-3;5), C(-2;0)  найти

  1) длину стороны АВ;

  2)  внутренний угол А;

  3) уравнение высоты, проведенной через точку С;

  4) уравнение медианы, проведенной через точку С;   5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.

3. По известным вершинам пирамиды  А1(3,5,4), А2(8,7,4), А3(5,10,4), А4(4,7,8)

  средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами А1А2 и А1А4; площадь грани А1А2А3; проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4; объем пирамиды.

4. По четырем точкам задачи 3 составить:

уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3; канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4; уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4; угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.

5. a)  Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями

  координат, зная, что малая полуось равна 12, эксцентриситет .

  Сделать чертеж

Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с

  осями  координат, зная, расстояние от одной из вершин до фокусов равны

  4 и 16. Сделать чертеж.

6.  Даны матрицы Q, S, D, G:

  найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;

  убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;

  найти Q-1 и сделать проверку.

  ,  ,  , 

7.  a)  Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

 

  b)  Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать

  фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы

  и записать общее решение в векторной форме: .

8. Доказать, что векторы     образуют базис и найти

  координаты вектора  в этом базисе. Сделать проверку.

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 5)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)

.

1.  На векторах построен параллелограмм. Найти:

  a)  угол между диагоналями параллелограмма;

  b)  площадь параллелограмма;

  c)  высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;

  d)  Пр.

 

2.  В треугольнике АВС: A(6;2), B(-2;8), C(-1;3)  найти

  1) длину стороны АВ;

  2)  внутренний угол А;

  3) уравнение высоты, проведенной через точку С;

  4) уравнение медианы, проведенной через точку С;   5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.

3. По известным вершинам пирамиды:А1(10,6,6), А2(-2,8,2), А3(6,8,9), А4(7,10,3)

  средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами А1А2 и А1А4; площадь грани А1А2А3; проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4; объем пирамиды.

4. По четырем точкам задачи 3 составить:

уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3; канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4; уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4; угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.

5. a)  Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями

  координат, зная, что расстояние между директрисами равно 28, малая

  полуось равна 5. Сделать чертеж

Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с

  осями  координат, зная, вещественная ось равна 8 и гипербола проходит

  через точку (5, 12). Сделать чертеж.

6.  Даны матрицы Q, S, D, G:

  найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;

  убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;

  найти Q-1 и сделать проверку.

  ,  ,  , 

7.  a)  Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

 

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать

  фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы

  и записать общее решение в векторной форме: .

8. Доказать, что векторы , , образуют базис и найти

  координаты вектора  в этом базисе. Сделать проверку.

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 6)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)

.

1.  На векторах построен параллелограмм. Найти:

  a)  угол между диагоналями параллелограмма;

  b)  площадь параллелограмма;

  c)  высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;

  d)  Пр.

 

2. В треугольнике АВС: A(7;3), B(-1;9), C(0;4)  найти

  1) длину стороны АВ;

  2)  внутренний угол А;

  3) уравнение высоты, проведенной через точку С;

  4) уравнение медианы, проведенной через точку С;   5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.

3. По известным вершинам пирамиды:А1(1,3,2), А2(5,2,6), А3(5,7,4), А4(4,10,9)

  средствами векторной алгебры найти:

  a)  угол между ребрами А1А2 и А1А4;

  b)  площадь грани А1А2А3;

  c)  проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4;

  d)  объем пирамиды.

4. По четырем точкам задачи 3 составить:

уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3; канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4; уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4; угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.

5. a)  Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями

  координат, зная, фокусное расстояние равно 16, эксцентриситет .

  Сделать чертеж

  b)  Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с

  осями  координат, зная, что мнимая ось равна 12, уравнения директрис

  . Сделать чертеж.

6.  Даны матрицы Q, S, D, G:

  найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;

  убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;

  найти Q-1 и сделать проверку.

  ,  ,  , 

7.  a)  Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

 

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать

  фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы

  и записать общее решение в векторной форме: .

8. Доказать, что векторы  , , образуют базис и

  найти координаты вектора  в этом базисе. Сделать проверку.

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 7)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)

.

1.  На векторах построен параллелограмм. Найти:

  a)  угол между диагоналями параллелограмма;

  b)  площадь параллелограмма;

  c)  высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;

  d)  Пр.

 

2.  В треугольнике АВС: A(8;3), B(0;9), C(1;4)  найти

  1) длину стороны АВ;

  2)  внутренний угол А;

  3) уравнение высоты, проведенной через точку С;

  4) уравнение медианы, проведенной через точку С;   5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.

3. По известным вершинам пирамиды:А1(6,6,5), А2(4,9,5), А3(4,6,11), А4(6,9,3)

  средствами векторной алгебры найти:

  1)  угол между ребрами А1А2 и А1А4;

площадь грани А1А2А3; проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4; объем пирамиды.

4. По четырем точкам задачи 3 составить:

уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3; канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4; уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4; угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.

5. a)  Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями

  координат, зная, что большая ось в 3 раза больше малой, фокусное

  расстояние равно 8. Сделать чертеж.

  b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с

  осями координат, зная, расстояние между фокусами равно 14, мнимая

  полуось равна 5. Сделать чертеж.

6.  Даны матрицы Q, S, D, G:

  найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;

  убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;

  найти Q-1 и сделать проверку.

  ,  ,  , 

7.  a)  Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

 

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать

  фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы

  и записать общее решение в векторной форме: .

8. Доказать, что векторы  , , образуют базис и найти

  координаты вектора  в этом базисе. Сделать проверку.

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 8)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)

.

1.  На векторах построен параллелограмм. Найти:

  a)  угол между диагоналями параллелограмма;

  b)  площадь параллелограмма;

  c)  высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;

  d)  Пр.

 

2.  В треугольнике АВС: A(12;-2), B(4;4), C(5;-1)  найти

  1) длину стороны АВ;

  2)  внутренний угол А;

  3) уравнение высоты, проведенной через точку С;

  4) уравнение медианы, проведенной через точку С;   5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.

3. По известным вершинам пирамиды:А1(7,2,2), А2(5,7,7), А3(5,3,1), А4(2,3,7)

  средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами А1А2 и А1А4; площадь грани А1А2А3; проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4; объем пирамиды.

4. По четырем точкам задачи 3 составить:

уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3; канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4; уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4; угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.

5. a)  Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями

  координат, зная, что расстояния от одного из фокусов до конца большой оси

  равны 4 и 16. Сделать чертеж.

  b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с

  осями  координат, зная, что угол между асимптотами равен 90˚, а малая ось

  равна 10. Сделать чертеж.

6.  Даны матрицы Q, S, D, G:

  найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;

  убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;

  найти Q-1 и сделать проверку.

  ,  ,  , 

7.  a)  Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

 

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать

  фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы

  и записать общее решение в векторной форме: .

8. Доказать, что векторы  , ,  образуют базис и найти

  координаты вектора  в этом базисе. Сделать проверку.

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 9)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)

.

1.  На векторах построен параллелограмм. Найти:

  a)  угол между диагоналями параллелограмма;

  b)  площадь параллелограмма;

  c)  высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;

  d)  Пр.

 

2.  В треугольнике АВС: A(4;-1), B(6,5), C(7;0) найти

  1) длину стороны АВ;

  2)  внутренний угол А;

  3) уравнение высоты, проведенной через точку С;

  4) уравнение медианы, проведенной через точку С;   5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.

3. По известным вершинам пирамиды:А1(8,6,4), А2(10,5,5), А3(5,6,8), А4(8,10,7)

  средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами А1А2 и А1А4; площадь грани А1А2А3; проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4; объем пирамиды.

4. По четырем точкам задачи 3 составить:

уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3; канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4; уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4; угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.

5. a)  Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями

  координат, зная, что большая полуось больше половины фокусного

  расстояния на 2, малая полуось равна 6.  Сделать чертеж.

  b) Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с

  осями  координат, зная, что угол между асимптотами 120˚, мнимая полуось

  равна 6. Сделать чертеж.

6.  Даны матрицы Q, S, D, G:

  найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;

  убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;

  найти Q-1 и сделать проверку.

  ,  ,  , 

7.  a)  Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

 

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать

  фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы

  и записать общее решение в векторной форме: .

8. Доказать, что векторы , , образуют базис и найти

  координаты вектора в этом базисе. Сделать проверку.

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (Вариант 10)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

(спец. 080502, 080507 – все формы обучения)

.

1.  На векторах построен параллелограмм. Найти:

  a)  угол между диагоналями параллелограмма;

  b)  площадь параллелограмма;

  c)  высоту параллелограмма, опущенную на вектор ;

  d)  Пр.

 

2.  В треугольнике АВС: A(13;3), B(5;0), C(6;4)  найти

  1) длину стороны АВ;

  2)  внутренний угол А;

  3) уравнение высоты, проведенной через точку С;

  4) уравнение медианы, проведенной через точку С;   5) уравнение биссектрисы, проведенной из точки А.

3. По известным вершинам пирамиды:А1(7,7,3), А2(6,5,8), А3(3,5,8), А4(8,4,1)

  средствами векторной алгебры найти:

угол между ребрами А1А2 и А1А4; площадь грани А1А2А3; проекцию вектора А1А2 на вектор А1А4; объем пирамиды.

4. По четырем точкам задачи 3 составить:

уравнение плоскости (P), проходящей через точки А1А2А3; канонические уравнения прямой, проходящей через точки А1А4; уравнения перпендикуляра к плоскости (P), проходящего через точку А4; угол между плоскостью (P) и ребром А1А4.

5. a)  Составить каноническое уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями

  координат, зная, что большая полуось больше малой на 1, фокусное

  расстояние равно10. Сделать чертеж.

Составить каноническое уравнение гиперболы, оси которой совпадают с

  осями координат, зная, что расстояние между вершинами равно 24,

  расстояние между директрисами равно . Сделать чертеж.

6.  Даны матрицы Q, S, D, G:

  найти G + DT, ST + D, QG, QGD, QS;

  убедиться в верности равенств: (QS)T = STQT, (DS)T = STDT;

  найти Q-1 и сделать проверку.

  ,  ,  , 

7.  a)  Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

 

  b)  Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Указать

  фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы

  и записать общее решение в векторной форме: .

8. Доказать, что векторы , , образуют базис и найти

  координаты вектора  в этом базисе. Сделать проверку.