Задания (стр. 2 )

а) До­ка­жи­те, что плос­кость MNB1 раз­би­ва­ет приз­му на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых равны.

б) Най­ди­те объём тет­ра­эд­ра MNBB1.

Вариант № 6

1. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 13, объем пи­ра­ми­ды равен 52. Най­ди­те длину от­рез­ка .

2. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна 164. Па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, де­ля­щее вы­со­ту в от­но­ше­нии 1:1, счи­тая от вер­ши­ны ко­ну­са. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти отсечённого ко­ну­са.

3. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, вы­со­та ко­то­рой равна 3, а ос­но­ва­ние — пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 5 и 3.

4. Объем од­но­го шара в 27 раз боль­ше объ­е­ма вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

5. В конус, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 3, впи­сан шар ра­ди­у­са 1,5.

а) Изоб­ра­зи­те осе­вое се­че­ние ком­би­на­ции этих тел.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара.

Вариант № 1

1. Гра­нью па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной 1 и ост­рым углом 45°. Одно из ребер па­рал­ле­ле­пи­пе­да со­став­ля­ет с этой гра­нью угол в 45° и равно 5. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ше­ние.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да , где – пло­щадь одной из гра­ней, а – длина ребра, со­став­ля­ю­ще­го с этой гра­нью угол . Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Вы­чис­лим объем:

Ответ: 2,5.

2.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 2,7. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды .

Ре­ше­ние.

Ис­ко­мый объем равен раз­но­сти объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­да с рёбрами , и и че­ты­рех пи­ра­мид, ос­но­ва­ния ко­то­рых яв­ля­ют­ся гра­ня­ми дан­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды:

Ответ: 0,9.

3. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен сумме объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов с реб­ра­ми 7, 4, 2 и 4, 3, 4:

.

Ответ: 104.

4. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA2B1C1D1 из­вест­ны длины рёбер: AB = 9, AD = 12 , AA1 = 18. Най­ди­те синус угла между пря­мы­ми A1D1 и AC.

Ре­ше­ние.

От­ре­зок A1D1 = AD. Тогда синус угла между пря­мы­ми A1D1 и AC равен си­ну­су угла

Ответ:0,6.

5. Пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки ABC и MBC лежат в пер­пен­ди­ку­ляр­ных плос­ко­стях, BC = 8. Точка P — се­ре­ди­на CM, а точка T делит от­ре­зок BM так, что BT : TM = 1 : 3. Вы­чис­ли­те объём пи­ра­ми­ды MPTA.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту тре­уголь­ни­ка . В тоже время — вы­со­та пи­ра­ми­ды , опу­щен­ная из вер­ши­ны на плос­кость ос­но­ва­ния .

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка со­став­ля­ет Сле­до­ва­тель­но,

Найдём объём пи­ра­ми­ды:

Ответ: 24.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние:

где — се­ре­ди­на

По­сколь­ку — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка — его вы­со­та, зна­чит, кроме того, (так как по усло­вию ). Таким об­ра­зом, то есть яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды

Ответ: 24.

Вариант № 2

1. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объём этой приз­мы, если объём от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равен 23,5.