Задания (стр. 1 )

Вариант № 1

1. Гра­нью па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной 1 и ост­рым углом 45°. Одно из ребер па­рал­ле­ле­пи­пе­да со­став­ля­ет с этой гра­нью угол в 45° и равно 5. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

2. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 2,7. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды .

3. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

4. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA2B1C1D1 из­вест­ны длины рёбер: AB = 9, AD = 12 , AA1 = 18. Най­ди­те синус угла между пря­мы­ми A1D1 и AC.

5. Пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки ABC и MBC лежат в пер­пен­ди­ку­ляр­ных плос­ко­стях, BC = 8. Точка P — се­ре­ди­на CM, а точка T делит от­ре­зок BM так, что BT : TM = 1 : 3. Вы­чис­ли­те объём пи­ра­ми­ды MPTA.

Вариант № 2

1. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объём этой приз­мы, если объём от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равен 23,5.

2. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

3.

В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 6 куб. см воды. В воду пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де уве­ли­чил­ся в 1,5 раза. Най­ди­те объём де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в куб. см.

4. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 3, объем пи­ра­ми­ды равен 1. Най­ди­те длину от­рез­ка MS.

5. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 бо­ко­вое ребро равно а ребро ос­но­ва­ния равно 1. Точка D — се­ре­ди­на ребра BB1. Най­ди­те объём пя­ти­гран­ни­ка ABCA1D.

Вариант № 3

1. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 13, объем пи­ра­ми­ды равен 52. Най­ди­те длину от­рез­ка .

2. От тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой равен 40, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и сред­нюю линию ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

3. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

4. Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Объём ко­ну­са равен 25. Най­ди­те объём ци­лин­дра.

5. В пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 17, а вы­со­та равна 7, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.) Най­ди­те пло­щадь этой сферы.

Вариант № 4

1.

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 7 и 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 63. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

2. Объем од­но­го шара в 1331 раз боль­ше объ­е­ма вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

3. В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли 2700 см3 воды и по­гру­зи­ли в воду де­таль. При этом уро­вень воды под­нял­ся с от­мет­ки 20 см до от­мет­ки 33 см. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в см3.

4. Если каж­дое ребро куба уве­ли­чить на 1, то его пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся на 54. Най­ди­те ребро куба.

5. В пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно а вы­со­та равна впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.) Най­ди­те пло­щадь этой сферы.

Вариант № 5

1. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , , , , , пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

2.

В тре­уголь­ной приз­ме две бо­ко­вые грани пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Их общее ребро равно 15 и от­сто­ит от дру­гих бо­ко­вых ребер на 8 и 15. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой приз­мы.

3. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в шест­на­дцать раз?

4. Най­ди­те рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми А и D пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB = 5, AD = 4, AA = 3.

5. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM = 2, CN = 1.