Задания (стр. 3 )

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния всей приз­мы в 4 раза (так как и вы­со­та и ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка умень­ши­лись в 2 раза). Вы­со­ты обеих ча­стей оди­на­ко­вы, по­это­му объем от­се­чен­ной части в 4 раза мень­ше объ­е­ма целой приз­мы, ко­то­рый равен 94.

Ответ: 94.

2. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ре­ше­ние.

Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен раз­ности объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов со сто­ро­на­ми 1, 8, 6 и 1, 3, 1:

.

Ответ: 45.

3.

В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 6 куб. см воды. В воду пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де уве­ли­чил­ся в 1,5 раза. Най­ди­те объём де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в куб. см.

Ре­ше­ние.

Объем де­та­ли равен объ­е­му вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. Объем вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен 1/2 ис­ход­но­го объ­е­ма, по­это­му объем де­та­ли равен 3 куб. см.

Ответ: 3.

4. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 3, объем пи­ра­ми­ды равен 1. Най­ди­те длину от­рез­ка MS.

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, по­это­му, точка M яв­ля­ет­ся цен­тром ос­но­ва­ния, а MS — вы­со­той пи­ра­ми­ды SABC. Ее объем вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . Тогда

.

Ответ: 1.

5. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 бо­ко­вое ребро равно а ребро ос­но­ва­ния равно 1. Точка D — се­ре­ди­на ребра BB1. Най­ди­те объём пя­ти­гран­ни­ка ABCA1D.

Ре­ше­ние.

Пусть — вы­со­та тре­уголь­ни­ка . Тогда по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти, по­сколь­ку в пра­виль­ной приз­ме и, зна­чит, Пя­ти­гран­ник — че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной в точке и ос­но­ва­ни­ем — пря­мо­уголь­ной тра­пе­ци­ей. Вы­со­та пи­ра­ми­ды Пло­щадь ос­но­ва­ния равна

Ответ: 3.

Вариант № 3

1. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 13, объем пи­ра­ми­ды равен 52. Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, по­это­му, точка О яв­ля­ет­ся цен­тром ос­но­ва­ния, а OS — вы­со­той пи­ра­ми­ды SABC. Ее объем вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле равен . Тогда

.

Ответ: 12.

2. От тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой равен 40, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и сред­нюю линию ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

Объем пи­ра­ми­ды . Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше в 4 раза (так как отсечённый тре­уголь­ник в ос­но­ва­нии по­до­бен ис­ход­но­му с ко­эф­фи­ци­ен­том 0,5), по­это­му и объем остав­шей­ся части мень­ше в 4 раза и равен 10.

Ответ: 10.

3. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та и сто­ро­на та­ко­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны диа­мет­ру сферы, по­это­му это куб с реб­ром 2. Пло­щадь его по­верх­но­сти равна 6 · 4 = 24.

Ответ: 24.

4. Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Объём ко­ну­са равен 25. Най­ди­те объём ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту, а объем ко­ну­са равен одной трети про­из­ве­де­ния пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. По­сколь­ку они имеют общее ос­но­ва­ние и вы­со­ту, объем ци­лин­дра в три раза боль­ше объ­е­ма ко­ну­са.

Ответ: 75.

5. В пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 17, а вы­со­та равна 7, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.) Най­ди­те пло­щадь этой сферы.

Ре­ше­ние.

Пусть — вы­со­та пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной тогда тре­уголь­ник — пря­мо­уголь­ный, от­ку­да

Тре­уголь­ник — пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, В тре­уголь­ни­ке вы­со­та