Задания (стр. 4 )

В рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке вы­со­та

Центр сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те точка ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани лежит на от­рез­ке Тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны, по­это­му

где — ра­ди­ус сферы.

Пло­щадь сферы

Ответ:

Вариант № 4

1.

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 7 и 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 63. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен про­из­ве­де­нию его из­ме­ре­ний. По­это­му, если x — ис­ко­мое ребро, то 7 3 x = 63, от­ку­да x = 3.

Ответ: 3.

2. Объем од­но­го шара в 1331 раз боль­ше объ­е­ма вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

Ре­ше­ние.

Объ­е­мы шаров со­от­но­сят­ся как кубы их ра­ди­у­сов:

,

от­ку­да Пло­ща­ди их по­верх­но­стей со­от­но­сят­ся как квад­ра­ты ра­ди­у­сов:

.

Ответ: 121.

3. В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли 2700 см3 воды и по­гру­зи­ли в воду де­таль. При этом уро­вень воды под­нял­ся с от­мет­ки 20 см до от­мет­ки 33 см. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в см3.

Ре­ше­ние.

Объём де­та­ли равен объ­ё­му вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. Объём вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен 13/20 ис­ход­но­го объ­е­ма:

Ответ: 1755.

4. Если каж­дое ребро куба уве­ли­чить на 1, то его пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся на 54. Най­ди­те ребро куба.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти куба вы­ра­жа­ет­ся через его ребро фор­му­лой , по­это­му при уве­ли­че­нии длины ребра на пло­щадь уве­ли­чит­ся на

От­сю­да на­хо­дим, что ребро куба равно

.

Ответ: 4.

5. В пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно а вы­со­та равна впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.) Най­ди­те пло­щадь этой сферы.

Ре­ше­ние.

Пусть — вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной тогда тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, от­ку­да

Тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, В тре­уголь­ни­ке вы­со­та

В пра­виль­ном тре­уголь­ни­ке вы­со­та

Центр сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те точка ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани лежит на от­рез­ке Тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны, по­это­му

где — ра­ди­ус сферы.

Пло­щадь сферы

Ответ:

Вариант № 5

1. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , , , , , пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.