Задания (стр. 5 )

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна двум тре­тьим пло­ща­ди ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, а вы­со­та у них общая. По­это­му

.

Ответ: 8.

2.

В тре­уголь­ной приз­ме две бо­ко­вые грани пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Их общее ребро равно 15 и от­сто­ит от дру­гих бо­ко­вых ребер на 8 и 15. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой приз­мы.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы можно найти по фор­му­ле , где — пе­ри­метр пер­пен­ди­ку­ляр­но­го се­че­ния, а — длина бо­ко­во­го ребра.

Пер­пен­ди­ку­ляр­ным се­че­ни­ем приз­мы будет пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 8 и 15. Ги­по­те­ну­зу его можно найти по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, она равна 17. Тогда

, .

Сле­до­ва­тель­но пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна .

Ответ: 600.

3. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в шест­на­дцать раз?

Ре­ше­ние.

Объёмы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му если все ребра уве­ли­чить в 16 раз, объём уве­ли­чит­ся в 4096 раз.

Ответ: 4096.

4. Най­ди­те рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми А и D пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB = 5, AD = 4, AA = 3.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ник в ко­то­ром яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью, = По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Зна­чит, AD = 5.

Ответ: 5.

5. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM = 2, CN = 1.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость MNB1 раз­би­ва­ет приз­му на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых равны.

б) Най­ди­те объём тет­ра­эд­ра MNBB1.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна а объём приз­мы равен

В четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де B1A1C1NM вы­со­та сов­па­да­ет с вы­со­той ос­но­ва­ния приз­мы A1B1C1, опу­щен­ной на сто­ро­ну A1C1, и равна Ос­но­ва­ние A1C1NM пи­ра­ми­ды B1A1C1NM яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей, пло­щадь ко­то­рой равна 27. Зна­чит, объём пи­ра­ми­ды B1A1C1NM равен то есть со­став­ля­ет по­ло­ви­ну объёма приз­мы. По­это­му объёмы мно­го­гран­ни­ков B1A1C1NM и ABCMB1N равны.

б) В четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де BACNM вы­со­та сов­па­да­ет с вы­со­той ос­но­ва­ния приз­мы ABC, опу­щен­ной на сто­ро­ну AC, и равна Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды BACNM яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей, пло­щадь ко­то­рой равна 9. Объём пи­ра­ми­ды BACNM равен

Мно­го­гран­ник ABCMB1N со­сто­ит из двух ча­стей: BACNM и MNBB1. Зна­чит, объём тет­ра­эд­ра MNBB1 равен

Ответ:

Вариант № 6

1. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 13, объем пи­ра­ми­ды равен 52. Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, по­это­му, точка О яв­ля­ет­ся цен­тром ос­но­ва­ния, а OS — вы­со­той пи­ра­ми­ды SABC. Ее объем вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле равен . Тогда

.

Ответ: 12.

2. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна 164. Па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, де­ля­щее вы­со­ту в от­но­ше­нии 1:1, счи­тая от вер­ши­ны ко­ну­са. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти отсечённого ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Ис­ход­ный и от­се­чен­ный конус по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 2. Пло­ща­ди по­верх­но­стей по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му пло­щадь от­се­чен­но­го ко­ну­са в 4 раза мень­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти ис­ход­но­го. Тем самым, она равна 41.

Ответ: 41.

3. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, вы­со­та ко­то­рой равна 3, а ос­но­ва­ние — пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 5 и 3.

Ре­ше­ние.

Объем пи­ра­ми­ды с пло­ща­дью ос­но­ва­ния и вы­со­той равен

.

Ответ: 15.

4. Объем од­но­го шара в 27 раз боль­ше объ­е­ма вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

Ре­ше­ние.

Объ­е­мы шаров со­от­но­сят­ся как

,

от­ку­да Пло­ща­ди их по­верх­но­стей со­от­но­сят­ся как квад­ра­ты ра­ди­у­сов:

.

Ответ: 9.

5. В конус, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 3, впи­сан шар ра­ди­у­са 1,5.

а) Изоб­ра­зи­те осе­вое се­че­ние ком­би­на­ции этих тел.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара.

Ре­ше­ние.

а) Осе­вым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник бо­ко­вые сто­ро­ны ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся об­ра­зу­ю­щи­ми ко­ну­са, а ос­но­ва­ни­ем — его диа­метр, и впи­сан­ная в тре­уголь­ник окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен ра­ди­у­су шара (см. рис.).

б) Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, от­ре­зок — бис­сек­три­са угла и пусть имеем:

Тогда Для пло­ща­дей по­верх­но­стей ко­ну­са и шара имеем: Тем самым, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно или 8:3.

Ответ: 8:3.