Учебно - исследовательская работа по математике Удивительная жизнь комплексных чисел. История одной тетради (стр. 2 )

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра: С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.

  В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

«Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств» Л. Карно.

  История возникновения комплексных чисел была самой сложной среди других видов чисел. Многие математики признали и стали изучать их. И на самом деле, с комплексными числами можно совершать гораздо больше математических действий и применять их гораздо чаще, чем мы думаем. Трудно поверить, однако комплексные числа широко использовал сам отец русской авиации (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Таким образом, комплексные числа нашли свое применение даже в такой неожиданной области, как воздухоплавание. В универсальности и всеохватности мнимых чисел я убедилась в ходе моего исследования, направленного на применение комплексных чисел в науке, их значение и пользу в современном мире.

Глава 2. Операции над комплексными числами.

       

Для полного представления о том, что такое комплексное число, я хочу рассмотреть основные понятия, связанные с ним, и механизм простейших операций, которые над ним можно осуществить.

Комплексным числом называется выражение вида z=a+bi, где i –мнимая единица или число, численно равное арифметическому квадратному корню из минус одного. Действительная часть числа z состоит из действительного числа, а мнимая часть – из действительного числа b. Любое комплексное число может быть представлено в виде вектора, исходящего из начала координат в точку с координатами (a;b), причем на горизонтальной оси в декартовой системе координат будет расположено множество действительных чисел, а на вертикальной оси – множество мнимых.  Если у комплексного числа z действительная часть равна нулю, то число z называется чисто мнимым, если же мнимая часть равна нулю, то число z – обычное действительное число.

Рассмотрим простейшие операции над комплексными числами в алгебраической форме записи:

Сложение.

Пусть , и .
Тогда получается простым приведением подобных:

Вычитание.

Пусть , и .
Тогда получается аналогично со сложением:

Умножение.

Пусть , и .
Тогда .
Что делать на этом шаге? Все довольно просто, как Вы наверно и подумали, надо всего лишь раскрыть скобки и привести подобные:

Определение комплексно сопряженного числа.

Пусть , и .
называют комплексно сопряженным к , если и , т. е. и .
И при перемножении
Это потребуется для нашего следующего действия.

Деление.

Пусть , и .
Тогда
На этом шаге обычно все и остановилось бы, но мы сможем еще упростить выражение благодаря знанию комплексно сопряженных чисел. Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число к знаменателю, получим:

Любое комплексное число можно представить в виде:, где — это модуль комплексного числа, а — это аргумент комплексного числа.

Рассмотрим действия над комплексными числами в тригонометрической форме записи:

Умножение.

Произведением двух комплексных чисел и будет комплексное число вида .

Деление.

Частным двух комплексных чисел и будет комплексное число вида

Возведение в степень.

 

Извлечение корня

,