Учебно - исследовательская работа по математике Удивительная жизнь комплексных чисел. История одной тетради (стр. 4 )

Векторная диаграмма

На этом простейшем примере хорошо видно как комплексные числа упростили решение. Сейчас же ни одна задача в электротехнике не решается без них. Мнимые числа – необходимая составляющая электротехники.

3.2

Комплексные числа в геометрии.

Удивительную особенность комплексных чисел я хочу продемонстрировать на примере формулы Муавра, которая помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. С помощью изображения корней, извлеченных из комплексных чисел, на комплексной плоскости можно получить поразительную закономерность, и вот какую:

Формула Муавра имеет следующий вид:  zn = rn(cosnц + i sinnц), где r — модуль, а ц — аргумент комплексного числа. Отметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n.

На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n - угольника

Рассмотрим решение конкретной задачи с использованием комплексных чисел.

Условие. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC построен квадрат вне треугольника. Найти расстояние от вершины C прямого угла до центра Q квадрата, если длины катетов BC и AC равны, соответственно, a и b.

Решение. Примем точку C за начальную, а прямые CA и CB за действительную и мнимую оси. Тогда точки A и B будут иметь соответственно комплексные координаты b и ai. При повороте на 90◦ вектор QB переходит в вектор QA. Поэтому имеем равенство (ai−q)i=b−q, где q — координата точки Q. Отсюда q= (a+b)/(1−i).

Таким образом, задача может быть решена с помощью комплексной плоскости, что значительно упрощает процесс нахождения решения.

3.3

Теорема Эйлера и комплексные числа. Тригонометрия.

Рассмотрим подробно два уравнения.

Для решения необходимо обратиться к формулам Эйлера.

1.

Ответ:

2.

Ответ:

На примере второго уравнения очень ясно видно, каким образом комплексные числа расширяют наше знание о числе. В школьной программе все значения синуса, не принадлежащие промежутку [-1;1] не имеют решения, однако во множестве комплексных чисел это возможно, что уже само по себе удивительно.

3.4

«Краткая теория Фракталов»

Доказательством того, что комплексные числа – красивейший раздел математики, служат фракталы. Фракталы – это многократное повторение вычислительного и графического процесса. К примеру, возьмем правильный треугольник, разделим каждую его сторону на три равные части, а затем на центральной части построим еще один правильный треугольник, таким образом, это простое действие можно повторять до бесконечности. Логично, что с повторением операции периметр фигуры будет возрастать, удивителен лишь тот факт, что такая фигура может помещаться на простом листе бумаги, а иметь периметр больший, чем расстояние от Земли до Солнца. И всё же, каким образом фракталы связаны с комплексными числами?

Каждому комплексному числу соответствует точка на плоскости. Возведем число в квадрат – появляется другая точка, еще раз возведем в квадрат (или любую другую степень), появляется новая точка на плоскости. Потом эту простейшую операцию повторим многократно с получающимся каждый раз новым комплексным числом. В зависимости от начального числа могут быть три варианта: процесс пошел вразнос, число резко растет, уходит «из поля зрения», это не интересно; число быстро уменьшается и исчезает, еще менее интересно; да, да, теперь самое потрясающее. При некоторых начальных значениях новые числа группируются внутри некоторой области, а при отображении их на плоскости появляются невероятные изображения. Это группирование комплексных чисел мы и рассмотрим на примере множества Мандельброта. Фрактал, изображающий множество Мандельброта — это  множество точек c на комплексной плоскости, для которых последовательность zn, определяемая итерациями z0 = 0, z1 = z02 + с, ..., zn+1 = zn2 + c, конечна (то есть не уходит в бесконечность). Визуально множество Мандельброта выглядит как набор бесконечного количества различных фигур, самая большая из которых называется кардиоидой (она похожа на стилизованное изображение сердца и получила свое название от двух греческих слов — «сердце» и «вид»). Кардиоида окружена всё уменьшающимися кругами, каждый из которых окружен еще меньшими кругами, и т. д. до бесконечности. При любом увеличении этого фрактала будут выявляться всё более и более мелкие детали изображения, дополнительные ветки с более мелкими кардиоидами, кругами. И этот процесс можно продолжать бесконечно.

Для построения графического изображения множества Мандельброта можно использовать алгоритм, называемый escape-time. Суть его такова. Доказано, что всё множество целиком расположено внутри круга радиуса 2 на плоскости. Поэтому будем считать, что если для точки c последовательность итераций функции fc = z2 + c с начальным значением z = 0 после некоторого большого их числа N (скажем, 100) не вышла за пределы этого круга, то точка принадлежит множеству и красится в черный цвет. Соответственно, если на каком-то этапе, меньшем N, элемент последовательности по модулю стал больше 2, то точка множеству не принадлежит и остается белой. Таким образом, можно получить черно-белое изображение множества, которое и было получено Мандельбротом. Чтобы сделать его цветным, можно, например, каждую точку не из множества красить в цвет, соответствующий номеру итерации, на котором ее последовательность вышла за пределы круга.

Теория фракталов появилась относительно недавно, но на настоящий момент она находит свое применение в различных областях науки, к примеру, в дизайне, компьютерной графике, архитектуре, математике и механике. Фрактальная наука в наши дни отнюдь не развита, она только стала предметом исследования в современном мире, так что трудно усомниться в том, что комплексное множество скрыло от нас ещё множество собственных тайн, которые человечеству только предстоит постигнуть.

Заключение

В ходе проделанной работы было исследовано применение комплексных чисел в различных областях науки на примерах решения конкретных задач. Это позволило подтвердить гипотезу и сделать вывод о том, что знание числового множества определяет границы существующих решений. Комплексное множество – это, несомненно, ключ к расширению существующих представлений о числе, совершенно неоправданно исключенный из школьной общеобразовательной программы. На мой взгляд, ввести ученика наиболее полно в курс определенной науки и привить интерес, желание заняться исследованием непонятного или неизвестного – основная задача  современного образования, что может быть достигнуто с помощью рассмотрения случаев применения сложной теории на наглядных практических примерах.

Как оказалось, роль комплексных чисел в современной науке трудно переоценить, так как именно они существенно упрощают процесс решения большинства математических задач, таким образом, проникая во все области современной науки. Правила действия с ними совпадают со многими свойствами реальных процессов. Как видно, комплексные числа – особенный мир, изучение которого существенно расширяет представление о числе. Красота является самым крепким связующим звеном между наукой и её практическим применением – эти слова как нельзя точно описывают эти удивительные числа. С углублением изучения только постепенно раскрывается поразительная взаимосвязь между мнимыми числами и материальным миром.

Список источников и использованной литературы

1..  Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. Издательство Московского центра непрерывного математического образования. Москва, 2002.

2..  Комплексные числа в электротехнике. Научное сообщество студентов XXI столетия. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ: сб. ст. по мат. XIII междунар. студ. науч.-практ. конф. № 13. Новосибирск, 2013.

3. Нижегородский государственный университет им. . Методическая разработка Комплексные числа и их некоторые применения. Новгород, 2007.

4. –Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах. Издательство Московского центра непрерывного математического образования. Москва, 2004.

5. http://www. origins. /page. php? id_story=750

6. http:///index. php/kompleksnye-chisla/formuli-ejlera-i-muavra-koren-n-j-stepeni-s-kompleksnogo-chisla

7. http://ib. /2014/05/31/действия-над-комплексными-числами-в-а/