Учебно - исследовательская работа по математике Удивительная жизнь комплексных чисел. История одной тетради (стр. 1 )

МУНИЦИПАЛЬНОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ЛИЦЕЙ № 1

Учебно - исследовательская работа по математике

Удивительная жизнь комплексных чисел. История одной тетради.

Дизер Екатерина

10 Г  класс

руководитель (консультант): ,

учитель математики

Южно-Сахалинск

2017

Содержание

1.Введение………………………………………………………………...…..стр.3

2.Глава 1.История возникновения……………………..………………………..…… ………….стр.6

3.Глава 2.Операции над комплексными числами………………..........…..стр.11

4.Глава 3.Применение комплексных чисел……………..…………………стр.15

  3.1.Комплексные числа в электротехнике…………………………..…стр.15

  3.2.Комплексные числа в геометрии…………………….……………..стр.24

  3.3.Теорема Эйлера и комплексные числа. Тригонометрия…….……стр.26

  3.4.Краткая теория фракталов…………………………………………..стр.28

5.Заключение……………….………………………………………………..стр.31

7.Список источников и использованной литературы………………..……стр.32

Введение

По моему глубокому убеждению, перед преподаванием математики в школе стоит одна важнейшая цель – формирование и развитие математического мышления. Такой подход, несомненно, значительно влияет на развитие математических способностей школьников, подготавливает к различным сложностям, учит логическому анализу. Однако непрекращающийся рост информационного объема и невозможность сокращения основ приводит к тому, что многие разделы алгебры даже не вводятся в курс школьной общеобразовательной программы, хотя являются немаловажным разделом математики в целом. Примером данного упущения могут послужить комплексные числа, которые убрали из школьной программы в середине 70-х.
После этого тригонометрия стала представляться некой магией, её формулы
можно только зазубрить. А ведь любой, знакомый с тригонометрической формой записи комплексного числа, выведет любую школьную
тригонометрическую формулу за минуту. Таким образом, изучение числа как основной математической единицы заканчивается введением действительных чисел, что можно рассматривать как серьезный пробел в сформированном представлении о числе, так как более полным и естественным является понимание комплексного числа.

Такого рода размышления посетили меня после того, как в 10 классе моей школы мы изучали тему «Комплексные числа», рассмотрели операции над ними, алгебраическую и тригонометрическую форму этих чисел, формулу Муавра, научились решать уравнения, содержащие числа с мнимой и действительной частью, изображать их на комплексной плоскости. Однажды учитель принес тетрадь по математике ученицы 10 класса, в ней стояла дата 10.12.1950, а тема урока записана такая же, как у нас – «Комплексные числа». Я была восхищена и удивлена этой ситуацией. Оказалось, что в послевоенной России, в сельской школе тоже изучали эти загадочные и, как многим кажется,  не очень нужные числа. Мне захотелось заглянуть в мир таинственных  и таких загадочных  чисел, расширить и углубить свои знания о них. Мне хотелось понять, каким образом число, которое было придумано человеком для решения задач, может использоваться на практике. Оказалось, этот раздел находит свое применение во многих областях современной науки, а именно, в таких, как электротехника, самолетостроение, учение о движении жидкостей и газов, геометрия, архитектура и многих других. К тому же, само определение комплексных чисел значительно расширяет границы понимания числа, действия с комплексными числами в первую очередь связаны с важными преобразованиями геометрического характера. Введение комплексных чисел, помимо своего чисто математического значения, является ярким отражением многогранности развития математических понятий. Таким образом, совокупность вещественного и мнимого чисел образует единое целое. Лаконичность, несравнимая точность и совершенная законченность комплексного множества может поразить любого, именно эти особенности комплексного числа с исчерпывающей полнотой раскрывают диалектические законы развития математических понятий.

Актуальность выбранной темы. Многие выпускники общеобразовательных школ поступают в высшие учебные заведения на технические специальности, где впервые только знакомятся с комплексными числами, так как школьная программа уже практически исключила из себя эту тему. В наше время эта область математики имеет крайне широкую область применения, когда материала по этой теме в школьных учебниках становится всё меньше.

Целью моего исследования является выяснение значимости комплексного числа в современной науке. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи: изучить применение комплексных чисел в таких областях, как геометрия, тригонометрия, электротехника, теория фракталов, разобрать применение на конкретных примерах, выяснить их роль.

Гипотеза заключается в том, что множество комплексных чисел способно существенно расширить способы нахождения решений многих математических уравнений, значительно  упростить этот процесс, а также найти свое применение в совершенно разных областях науки.

Работа состоит из введения, четырех глав, в которых рассмотрено использование комплексных чисел в таких областях науки, как электротехника, геометрия, тригонометрия, фракталы, заключения, списка источников и использованной литературы.

Глава 1. История возникновения

Изначально математики считали “настоящими” только натуральные числа, то есть числа, которые используются при счете. Затем по мере развития науки у человека  постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. Прошло немало времени, и наряду с натуральными числами начали применять дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «элементы чисел являются элементами всех вещей, и весь мир в целом является гармонией и числом». Однако  ничто не может удерживать свои позиции вечно, и вскоре  сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим серьёзным шагом к новому этапу развития в понятии о числе стало введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Однако отрицательным числам пришлось довольно долго приживаться в мире науки, подобно и самим комплексным числам, потому что это открытие кардинально  отличалось от уже сформировавшегося на тот момент представления о числе. Но что бы кто ни говорил, ничто не стоит на месте, и следующим серьезным переворотом, за которым последовала многовековая борьба между математиками, которая ведется и по сегодняшний день, должны были стать комплексные числа.

Первое их упоминание в истории, можно отнести к 50 веку до нашей эры. Тогда студент Герон из Александрии, пытаясь вычислить объем пирамиды, столкнулся с тем, что должен был взять квадратный корень из разности 81-144. Но тогда он посчитал это невозможным и очень быстро сдался. В 1494 году учёный, францисканский монах Лука Пачиоло (1445 – 1514) напечатал в Венеции труд «Сумма, арифметика, геометрия и пропорциональности» , который закончил выводом: «Решение кубических уравнений вида , p > 0, q > 0, столь же невозможно при современном состоянии науки, как и решение квадратуры круга циркулем и линейкой».

Несмотря на это предупреждение, за решение кубического уравнения взялись одновременно сразу два математика, а именно – Джеронимо Кардано (1501 – 1576) из Милана и Николо Тарталья (1506 – 1559) из Вероны. Причём первый из них получил аналитический результат, решая квадратное уравнение. Он поставил перед собой задачу: нарезать участок земли прямоугольной формы с площадью 40 кв. ед. и периметром 10 лин. ед. Решая систему, он пришёл к уравнению вида:, корни которого не являются действительными числами. Кардано пришел к следующему выводу: «Для осуществления таких действий нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же утончённой, насколько бесполезной, как видно, даже сам Кордано считал эти числа бесполезными и всячески старался их не использовать.

Только в 18 веке величайший математик Леонард Эйлер (1707 – 1783) в работе  «Введение в математический анализ»  (1746) вводит обозначение мнимой единицы: , взяв первую букву слова imaginеires (от названия введённого Р. Декартом (1596 – 1650)) и записывает свои знаменитые формулы:

Карл Гаусс (1777 – 1855), немецкий учёный,  «король математики» , впервые называет числа комплексными (от латинского compleks – объединение ), вводит обозначение а + b i и представляет их в виде точек плоскости.

Гамусс — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков».