Учитель МБОУ гимназия № 9
города Воронежа
Методическая разработка
«Метод геометрической подстановки в алгебре»
Решение некоторых алгебраических уравнений, неравенств, систем и т. п. упрощается, если придать входящим в них выражениям геометрический смысл.
Это можно сделать различными способами, например:
изобразить соответствующие уравнениям или неизвестным кривые или области в декартовой системе координат и рассмотреть их взаимное расположение. истолковать уравнение или неравенство как алгебраическое соотношение между длинами сторон и углами в каких-либо геометрических фигурах (треугольник, параллелограмм и т. п. ), пользуясь теоремами геометрии (теорема синусов, теорема косинусов и т. п. ). интерпретировать уравнение или неравенство в виде соотношений между векторами, используя запись операции с векторами в координатной форме (сложение, вычитание векторов, скалярное произведение и т. п. ).Пример 1: ( Химический факультет МГУ, 1996г.).
Решить систему
Решение
После замены
система принимает вид
(*)
Отвлечемся на время от того факта, что переменные a и b связаны друг с другом посредством величины x, и поэтому не могут меняться независимо. Итак, будем считать, что a≥0 и b≥0 – независимые переменные, и изобразим на координатной плоскости 0ab геометрическое место точек M(a;b), координаты которых удовлетворяют системе:
Заштрихованное на рис. 1 множество точек соответствует неравенству
a + b ≥2
Заштрихованное на рис. 2 множество точек соответствует неравенству 
Найдём множество точек, удовлетворяющих системе (*) как пересечение множеств заштрихованных на рис. 1 и рис. 2 и первого координатного угла.
Ясно, что пересечение множеств есть точка K(1,1).
Система (*) имеет единственное решение
или
Ответ: -1.
Пример 2 (Факультет психологии МГУ, 1987 г.)
Доказать, что все решения неравенства
(1)
удовлетворяет неравенству
(2)
Решение.
Оба неравенства имеют общую область определения x > 1. Выделяя полные квадраты относительно функций 
и 
, преобразуем второе неравенство к виду:
и сделаем замену: 
, тогда неравенства (1) и (2) примут соответственно вид:
Переформулируем условие задачи: для выполнения условия задачи, достаточно, чтобы все решения неравенства (1’) содержались среди решений неравенства (2’).Иными словами, если заштриховать геометрическое место точек M(a, b), координаты которых удовлетворяют неравенству (1’), а затем проделать тоже для неравенства (2’), то все точки, заштрихованные в первый раз, будут заштрихованы и второй раз
Изобразим взаимное расположение множеств решений неравенств (1’) и (2’).
Рис.1 доказывает импликацию: 
, то есть заканчивает решение задачи.
Пример 3. (Факультет психологии МГУ, 1997 г.).
Найти все значения параметров a и b, при которых система уравнений
имеет два решения 
и 
, удовлетворяющих условию
Решение.
Выделяя полные квадраты, запишем заданную систему в виде
Условие 
, где 
и
- решения системы. Это означает, что оба решения системы равноудалены от начала координат.
Иначе говоря, начало координат принадлежит прямой, соединяющей центры двух окружностей, задаваемых соответственно уравнениями (1) и (2) системы.
Действительно, если 
и 
- центры этих окружностей, то 
является серединным перпендикуляром к отрезку
и начало координат 
лежит на прямой 
, по свойству серединного перпендикуляра. Уравнение прямой 
имеет вид
(3)
Подставляя в (3) координаты точки
, получим 
Окружности пересекаются в двух точках тогда и только тогда, когда выполняются условия:
где
Ответ:
Пример 4. (экономический факультет МГУ, 1985 г.)
Среди всех решений 
системы
найти такие, при каждом из которых выражение 
принимает наибольшее значение.
Решение.
Рассмотрим два вектора 
и 
на плоскости : 
и 
. Если координаты этих векторов удовлетворяют всем условиям задачи, то первое уравнение системы означает, что длина вектора 
равна 2, а длина вектора 
равна 3: 
Левая часть последнего неравенства системы является координатной записью скалярного произведения векторов 
и 
. Таким образом,
С другой стороны, если 
– угол между векторами 
и 
, то 
Значит 
=0, и векторы 
и 
- сонаправлены, то есть 
, где 
Число 
Значит
Выражение 
принимает вид:
где 
Так как 
, где 
- угол между векторами 
и 
, то наибольшее значение суммы 
достигается при 
=0. Значит 
, где
и 
Итак, выражение 
принимает наибольшее значение, если
Ответ: 
Пример 5. (Мехмат МГУ, устный экзамен).
Найти наименьшее значение выражения 
Решение.
Придадим сумме 
геометрический смысл: поместим в декартову прямоугольную систему координат 
точку 
и точку 
. Тогда слагаемое 
равно длине отрезка 
, слагаемое 
равно длине перпендикуляра 
, а слагаемое 
длина отрезка 
. Поэтому сумма 
подсчитывает длину ломаной 
с фиксированными началом 
и концом 
Среди всех таких ломаных наименьшую длину 
имеет отрезок 
, соответствующий значениям 
и 
Ответ: 
Таким образом, метод геометрической подстановки удобно применять, когда
уравнение (неравенство) в условии задачи отвечают простым геометрическим образам, то есть задают на координатной плоскости прямые (полуплоскости), окружности (круги или их внешности), параболы, гиперболы и т. п.; соотношения, выражающие условия задач, по структуре напоминают алгебраическую запись теорем геометрии (теорема косинусов, теорема синусов, формула длины отрезка и т. д.); алгебраические выражения представляют собой суммы попарных произведений каких-либо величин, что позволяет истолковать их как скалярное произведение векторов.
