Вопросы (стр. 2 )

Суммируя площади всех таких прямоугольников на отрезке [a, b], получим квадратурную формулу (средних) прямоугольников:

Вопрос 7. Вычисление определенного интеграла по формулам трапеции.

Проведем через точки: (xi-1, f(xi-1)), (xi, f(xi)) полином первой степени (прямую линию). И заменим на отрезке [xi-1,xi] площадь криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции y=f(x), площадью обычной трапеции, образованной подграфиком функции y=P1,i(x), где в соответствии с формулой интерполяционного полинома в форме Лагранжа

.

Таким образом вместо интеграла рассмотрим

.

Просуммировав такие площади по всему отрезку [a, b], получим квадратурную формулу трапеций:

Вопрос 8. Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона.

Заменим площадь криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции y=f(x) на частичном отрезке [xi-1,xi], площадью другой криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции y=P2,i(x), где

есть интерполяционный полином второй степени (парабола) в форме Лагранжа, построенный по трем точкам (xi-1,f(xi-1)), (xi, f(xi)), (xi, f(xi)). Таким образом вместо интеграла рассмотрим величину

.

В результате суммирования величин по всему отрезку [a, b] получим квадратурную формулу Симпсона (формулу парабол):

Вопрос 9. Квадратурные формулы интерполяционного типа.

p(x) – весовая функция

(1)

Далее заменим f(х) интерполяционный полином

Пусть на отрезке [a, b], узлы – xk и среди нет совпадающих, запишем полином Лагранжа

Подставим это в формулу (1)

Формула(1) является квадратурной формулой интерполяционного типа, когда коэффициент с(к) вычисляется из формулы (2)

-погрешность

Точность до n-го порядка включительно

Вопрос 10. Метод Рунге апостериорной оценки погрешности вычисления определенного интеграла.

Выбираем шаг с которым мы вычисляем интеграл, далее выбираем метод решения, допустим от m-го порядка точности I=Ih+0(hm)

Где c-const не зависит от h

  Оценка интеграла, точное значение.

Для трапеции

Метод Симпсона

погрешность вычисления

Вопрос 11. Метод Гаусса вычисления определенного интеграла.

Метод наивысшей алгебраической точности

Построим квадратурную формулу так, чтобы она была точна для многочлена как можно большей степени. Потребуем чтобы формула была точна для многочлена степени m, это эквивалентно тому, чтобы функция была точна для функции f(x0=xa, a =[0,m]

M+1=2n

M=2n-1

Если имеется m-узлов, то формула Гаусса точны для многочленов до (2n-1) порядка включительно

+ для одинакового количества узлов более точен.

- более сложная схема, так как выбираются не только степени, но и узлы

Используется для оценки интеграла с небольшим количеством узлов

Вопрос 12. Решение СЛАУ методом Гаусса.

(1)

А*х=В (2)

А - основная матрица системы, х - вектор столбец неизвестных, В - вектор столбец элементов

Приведение матрицы коэффициентов к треугольному виду составляет суть прямого хода Гаусса

Выбираем max - элемент

Вопрос 13. Решение СЛАУ специального вида  методом прогонки.

Данный метод предназначен для решения систем специального вида (трехдиагональной) матрицы коэффициентов.

- ai xi-1 + ci xi - bi xi+1 = fi i=2, ... , n-1

x1 = k 1 x2 + n 1 (2)

xn = k 2 xn-1 + n 2

На первом этапе находятся коэффициенты

a i+1 = bi /(ci - ai a i) , b i+1 = ( b i ai + fi ) /(ci - ai a i ) i=2, ... , n-1 (прямой ход), a 2 = k 1 , b 2 = n 1,

а на втором этапе находится решение

xi = a i+1 xi+1 + b i+1 , i = n-1, ... ,2,1

xn = (n 2 + b n ) / ( 1-a n k 2 ).

Для корректности метода прогонки достаточно, чтобы коэффициенты a i были по модулю меньше единицы, а выражения в знаменателях формул были отличны от нуля.

Вопрос 14. Решение СЛАУ методом Якоби

Пусть имеется система А*х=В и пусть эту систему привели к идентичному виду х=С*х+D, где С-матрица размерности как и А, D – вектор столбца

Произвольный вектор строим итерационный процесс, как , где к – номер итерации.

Считаем до тех пор, пока

Достаточные условия сходимости:

Вопрос 15. Решение СЛАУ методом Зейделя

Является модификацией метода простой итерации

Пусть имеется система А*х=В и пусть эту систему привели к идентичному виду х=С*х+D, где С-матрица размерности как и А, D – вектор столбца

Произвольный вектор строим итерационный процесс, как

Преимущество: экономия оперативной памяти, сходится быстрее

Вопрос 16. Метод деления отрезка пополам.

Простейшим методом нахождения корней уравнения f(x) = 0 является метод деления пополам или дихотомия. Предположим, мы нашли две точки и, такие что и имеют разные знаки, тогда между этими точками, если, находится хотя бы один корень функции  f. Поделим

отрезок пополам и введем точку. Либо, либо. Оставим ту половину отрезка, для которой значения на концах имеют разные знаки. Теперь этот отрезок делим пополам и оставляем ту его часть, на границах которой функция имеет разные знаки, и так далее, до достижения требуемой точности.

К достоинствам метода деления пополам следует отнести его высокую надежность и простоту, при этом от функции требуется только непрерывность. Порядок сходимости метода линейный, на каждом шаге точность возрастает вдвое.

Недостатком метода является тот факт, что прежде чем начать его применение, необходимо предвари­тельно найти две точки, значения функции в которых имеют разные знаки. Очевидно, что метод неприме­ним для корней четной кратности. Он также не может быть обобщен на случай комплексных корней и на системы уравнений

Вопрос 17. Решение нелинейных уравнений методом простой итерации.

F(x)=0 (1)

Преобразуем уравнение (1) к виду:

(2)

, исходя из х0 строим итерационный процесс:

(3)

Если последовательность (3) имеет предел -)