Вопросы (стр. 4 )

µ(x) – разница этих решений

u~’- u’=f(x, u~) – f(x, u)

µ’(x)= * µ

µ’ = f’(x, u+© µ) µ

0<©<1

© - некоторое число

Умножаем обе части на µ

µ ‘ 

1/2  = L(x, µ)  (3)

Если произвуодная < 0, то

  < 0, следовательно  (x)<=  ( ) 

|u~ - u|<=| -  |

Если L(x, µ) > 0 , то функция возрастающая.

Для исследования устойчивости используют модельное уравнение:

л некоторая константа

0<x=X

л µ =0, если µ(0)=

Если решим, то

µ(0)=

л >0,  тогда µ(0) убывающая  величина устойчивая величина

X->∞ , тогда µ(0) стремится к 0

л <0, тогда µ(0) возрастающая величина

Вопрос 20. Построение разностной схемы для численного решения ОДУ

В рассмотренной области пространства вместо непрерывной  среды вводится ее разностный анализ.

Вместо функции непрерывного аргумента мы вводим функции дискретного аргумента.

=y(), I = 0, +-1, +-2…

Дифференциальное уравнение заменяем соответствующими конечно-разностными соотношениями. В итоге дифференциальная задача заменяется (аппроксимируется) разностной схемой (системой разностных уравнений).

в точке

Метод  дающий формулу для вычисления по к –предыдущим значениям у  (, ) называется к-шаговым методом.

Если к=1, то это одношаговые методы Рунге-Кутта

Если к>1, то это многошаговый метод.

Вопрос 21. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.

Берем три соседних узла , шаг будет постоянен

И пусть знаем значения этих узлов

Выделяют следующие виды производных:

  Правая производная

Левая производная

  Центральная производная

Все эти производные - конечно разностные соотношения

  Аппроксимация второй производной

Говорят, что разностный оператор аппроксимирует дифференциальный оператор с порядком в точки , если для погрешности аппроксимации имеет место соотношение:

Вопрос 22. Численное решение ОДУ методом Эйлера.

+ очень простая формула

Оценка погрешности

Теперь подставим в наше уравнение

Исследуем на устойчивость

Условия устойчивости

Вопрос 23. Численное интегрирование ОДУ методом Рунге-Кутта 2-го порядка.

Условия задания

Элементы правой части разложим в ряд Тейлора

Попробуем выразить

Теперь подставим все это в уравнение невязки

Для аппроксимации

Чтобы схема(1) имела 2-ой порядок точности необходимо чтобы

1)

Подставим в схему (1)

Схема счет-пересчет

2)

Устойчива при

Вопрос 24. Общая формулировка методов Рунге-Кутта для решения ОДУ. Семейство методов 3-го и 4-го порядка.

Одним из способов повышения порядка сходимости разностных схем для ОДУ является использование методов Рунге-Кутта.

(1)

Пусть известно приближенное значение . явный m-этапный метод Рунге-Кутта состоит в следующем:

Задаются коэффициенты , а затем вычисляется значение функции:

После этого находим новые значения у