Вопросы (стр. 3 )

,  тогда  , то есть – корень уравнения (2)

Теорема

Пусть непрерывна на отрезке [a, b] и пусть при заданном х0 из отрезка [a, b] последовательность (3) тогда корень уравнения (2)

Доказательство

Достаточное условие сходимости:

Отображение называется сжимающим на отрезке [a, b] с коэффициентом сжатия С, где , если для любых двух точек выполняется условие Липшица

Теорема

Пусть имеет решение и пусть - сжимающая на отрезке [a, b], с коэффициентом сжатия С, тогда является единственным решением на отрезке [a, b] уравнения . И существует сколь угодно число R>0, такое, что при выборе х0 из условия все члены последовательности будут определены, причем выполняется неравенство , где к=0,1,2,…..

В случаи наличия у производной на отрезке [a, b], которая удовлетворяет условию условие Липшица выполняется автоматически.

Вопрос 18. Метод Ньютона нахождения корней нелинейных уравнений.

Пусть f(x) имеет непрерывные f’(x) и f’’(x), причем f’(x) сохраняет свой знак.

Пусть известно начальное приближение x0. Заменим f(x) двумя первыми членами ряда Тейлора

Если известно приближенность xk-1, то в методе Ньютона

+ достаточно высокая степень сходимости

- необходимость достаточно точно указывать начальную приближенность

Вопрос 19. Численное решение задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Постановка исходной задачи.

F(x, u, u’, u’’,..,   ) = 0, где х – независимая переменная.

=f(x, u,u’,u’’,.., ),  где    - старшая переменная 

Решить дифференциальное уравнение – это значит найти такую функцию, которая при подстановке в исходное дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

u=u(x)

Общее решение – это соотношение между функцией, независимой переменной и произвольными постоянными. Количество произвольных постоянных равно порядку дифференциального уравнения.

Частное решение – получается из общего решения, если придать произвольным постоянным определенное значение.

Cx – некоторая произвольная постоянная.

y’=

y=Cx

y’=C

= =C

Y(x=3)=12

y(3)=12

u’=

u’’=’

u’=

’=

…

’  =f(x, u,u’,u’’,..), 

Задача коши для ДУ 1-го порядка

u’=f(x, y)  (1)

u() =

Задача нахождения решения уравнения (1) удовлетворяет заданному начальному условию называется задачей Коши для ДУ 1-го порядка.

Предположим, что  f(x, y)  является достаточно гладкой (имеет столько производных, сколько нам нужно) рассмотрим следующую прямоугольную область: 

D ={0<x<X, |u-  |<U}

Если функция f(x, y)  в области D удовлетворяет условию Липшеца:

|f(x,) – f(x, )| < k||, k=const>0  (2)

то задача Коши имеет единственное решение.

Для уравнения (1) решением является функция u=u(x), предположим, что уравнение (1) имеет еще одно решении  u~(x)= u~, начальное уравнение: -  )= -  .

µ(x)= u~(x)-u(x)

= -