Вопросы (стр. 1 )

Contents        

Вопрос1. Источники и виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешность.        1

Вопрос 2. Интерполирование функции многочленами Лагранжа.        1

Интерполяционный полином в форме Лагранжа        1

Вопрос 3. Интерполяционные формулы Ньютона        2

Вопрос 4. Интерполирование сплайн-функциями        2

Вопрос 5. Метод наименьших квадратов        2

Вопрос 6. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников.        3

Вопрос 7. Вычисление определенного интеграла по формулам трапеции.        3

Вопрос 8. Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона.        3

Вопрос 9. Квадратурные формулы интерполяционного типа.        4

Вопрос 10. Метод Рунге апостериорной оценки погрешности вычисления определенного интеграла.        4

Вопрос 11. Метод Гаусса вычисления определенного интеграла.        5

Вопрос 12. Решение СЛАУ методом Гаусса.        5

Вопрос 13. Решение СЛАУ специального вида  методом прогонки.        5

Вопрос 14. Решение СЛАУ методом Якоби        6

Вопрос 15. Решение СЛАУ методом Зейделя        6

Вопрос 16. Метод деления отрезка пополам.        6

Вопрос 17. Решение нелинейных уравнений методом простой итерации.        6

Вопрос 18. Метод Ньютона нахождения корней нелинейных уравнений.        7

Вопрос 19. Численное решение задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Постановка исходной задачи.        7

Вопрос 20. Построение разностной схемы для численного решения ОДУ        8

Вопрос 21. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.        9

Вопрос 22. Численное решение ОДУ методом Эйлера.        9

Вопрос 23. Численное интегрирование ОДУ методом Рунге-Кутта 2-го порядка.        9

Вопрос 24. Общая формулировка методов Рунге-Кутта для решения ОДУ. Семейство методов 3-го и 4-го порядка.        10

Вопрос 25. Общая формулировка многошаговых методов для численного решения ОДУ        11

Вопрос 26. Метод Адамса решения задачи Коши для ОДУ.        11

Вопрос 27. Краевая задача для ОДУ. Постановка задачи.        12

Вопрос 28. Метод конечных разностей для ДУ 2-го порядка.        13

Вопрос 29. Аналитические методы решения задачи Коши для ОДУ.        13

Вопрос1. Источники и виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешность.

Источниками возникновения погрешности численного решения задачи явля ются следующие факторы.
• Неточность математического описания, в частности, неточность задания начальных данных.
• Неточность численного метода решения задачи.

Данная причина возникает, например, когда решение математической за дачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифме тических операций, что приводит к необходимости ограничения их числа, т. е. использования приближенного решения.
• Конечная точность машинной арифметики.
Виды погрешностей

Все погрешности можно разделить на три вида:
• неустранимая погрешность;
• погрешность метода;
• вычислительная погрешность.

Определение 1.1.1. Если а - точное значение некоторой величины и а известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения а называют некоторую величину, про которую известно.
Определение 1.1.2. Относительной погрешностью приближенного значения называют некоторую величину про которую известно.
Относительную погрешность часто выражают в процентах.

Вопрос 2. Интерполирование функции многочленами Лагранжа.

Простейшая задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке [a, b] заданы n + 1 точки xi = х0, х1, . . ., хn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках

f(x0) = y0, f(x1) = y1, . . ., f(xn) = yn.

Требуется построить функцию F (х) (интерполяционная функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т. е. такую, что

F(x0) = y0, F(x1) = y1, . . ., F(xn) = yn.

Интерполяционный полином в форме Лагранжа

Рассмотрим задачу интерполяции:

Пусть дана сетка x0, x1, xn и даны значения функции в узлах этой сетки y0, y1, yn, далее строим полином

Где коэффициент Лагранжа, а n - степень полинома

=1

=0, где

Далее образуем линейную комбинацию

Погрешность интерполяции функции полиномом Лагранжа оценивается формулой: 

 

Где r(x) – некая функция, 

Введем некую вспомогательную функцию , где

  x –  некоторая фиксированная величина

s – переменная величина

   

По теореме Роля в двух точках (n+1)

 

Следовательно:

Интерполяционный многочлен Лагранжа удобен и употребляется в теоретических исследованиях, но с практической точки зрения его полезность вызывает сомнения, так как при построении полинома степени n+1 -- Pn+1(x) полностью теряется информация о предыдущем полиноме -- Pn(x) .

Вопрос 3. Интерполяционные формулы Ньютона

Пусть дана сетка x0,x1…xn, пусть известны значения в узлах сетки yi=f(xi), i=0,n. Вводим систему многочленов Pk(x) = k = 0,n

P0(x) = 1, pi(x)  = (x-x0),…,pk(x) = (x-x0)(x-x1)…(x-xk-1)

Pk(x)  = 0 x=x0, x1,…,xk-1

Интерполяционный полином Ньютона

, где - многочлены, которые надо найти

Пусть дана сетка x0,x1…xn, пусть известны значения в узлах сетки yi=f(xi), i=0,n, шаг сетки h-xi+1-xi=const

Введем - конечная разность 1-го порядка

Погрешность полинома Ньютона

Вопрос 4. Интерполирование сплайн-функциями

Сплайном n-го порядка называется функция, которая является полиномом m-ой степени и которая является непрерывной на любом подотрезке вместе со своими производными до m-1-го порядка. Чаще всего используются кубические сплаиды

Пусть функция y=f(x) задана таблично :

x0 = a, xn = b, x0 < x1 < x2 < .... < xn, yi = f(xi) i = 0,..., n.

Кубической сплайн-интерполяцией называется функция j (x) такая, что

j (xi) = f(xi) , i=0,1,...,n,

j ' (xi-0) = j ' (xi+0) , j ' ' (xi-0) = j ' ' (xi+0) i=1,...,n-1 (1)

j ' ' (x0) =0, j ' ' (xn) =0,

и j (x) = ai + bi(x-xi) +ci(x-xi)2 +di(x-xi)3 , xi-1 ё x ё xi

Величины коэффициентов a, b,c, d, находятся из системы уравнений (1). Для нахождения значений этих коэффициентов удобно, с помощью последовательного исключения неизвестных, редуцировать систему (1) к системе трехточечных уравнений относительно коэффициентов сi, и решать ее далее с помощью метода прогонки

Вопрос 5. Метод наименьших квадратов

F(x)-начальная ф-ия, g(x) - интерполирующая функция

Н - невязка, w(x)>=0-весовая функция (при одном и том же значении несколько значении ф-ии)

Степень полинома (m) выбираем сами (до 4,5)

Вопрос 6. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников.

Разобьем [a, b] на N равных подотрезков, длина каждого подотрезка: h=(a-b)/N. Заменим на отрезке [xi-1, xi] функцию y=f(x) полиномом нулевой степени, то есть константой. Данный полином можно однозначно провести через одну точку. В качестве такой точки выберем точку (xi, f(xi)), где xi-1/2=(xi+xi-1)/2 - середина отрезка [xi-1, xi]. Тогда полином, очевидно, имеет вид: P0,i=f(xi). Теперь площадь криволинейной трапеции, образованной подграфиком функции y=f(x) на отрезке [xi-1,xi], заменим на площадь прямоугольника с основанием [xi-1,xi] и высотой f(xi), то есть вместо рассмотрим .