Вопросы (стр. 5 )

Выбор коэффициентов  производим так, чтобы разложенные функции Ох в ряд Тейлора и линейная комбинация(2) совпадали до возможно больших степеней n, при произвольной функции f(x, u) и произвольном шаге h. Кроме того, чтобы формула (2) аппроксимировала уравнению (1) необходимо чтобы

Наиболее удобной и употребительной является схема метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Она имеет следующий вид

       На каждом шаге величины рассчитываются заново.

Метод Рунге–Кутта часто применяется для решения дифференциальных уравнений и систем уравнений из-за его высокой точности. Отличительная особенность метода – уточнение наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка интегрирования, но и, например, в середине отрезка (для двучленных схем Рунге–Кутта) или четырехкратное вычисление производных в методе четвертого порядка.

Вопрос 25. Общая формулировка многошаговых методов для численного решения ОДУ

В общем случаи k-шаговая разностная схема выглядим следующим образом:

(1)

- некоторые числовые коэффициенты

Схема(1) предназначена для нахождения по предыдущим значениям если , то получаем одношаговый метод. Если предположить что в (1), то получим явную схему.

А) явная схема

Б) получаем неявную схему

Для каждого i, должны решать нелинейное уравнение.

Погрешность аппроксимирующей схемы (1):

Коэффициенты  находятся из соображения аппроксимации и устойчивости

Проинтегрируем

на отрезке.)

Вопрос 26. Метод Адамса решения задачи Коши для ОДУ.

Тогда получим следующую схему

Если в (1) положить что получим следующую схему:

метод Рунге-Кутто 1порядка

Если в (1) положить что получим следующую схему:

одношаговая неявная схема Адамса

+ неявные схемы более устойчивые, можем не заботится о шаге

Если в (1) положить что получим следующую схему:

неявная симметричная схема Адамса

Если в (1) положить что получим следующую схему:

Явная двухшаговая  схема Адамса

Модельное уравнение;

Решение ищут в следующем виде:

, подставим

при любых M D>0 при условии

Условия устойчивости: некоторый параметр

Вопрос 27. Краевая задача для ОДУ. Постановка задачи.

Краевая задача ставится таким следующим образом, найти такую функцию, которая удовлетворяет исходному уравнению, и краевым условиям  , где a и b – границы выбранного отрезка.

Рассмотрим линейную задачу, то есть соотношение исходного уравнения и краевой задачи линейны.

линейное уравнение 2-го порядка и краевые условия

Где p(x), q(x) и f(x)- непрерывные функции на отрезке  [a;b], - некоторые коэффициенты.

Ограничения 

Если А=В=0, то получаем однородные краевые условия

Вопрос 28. Метод конечных разностей для ДУ 2-го порядка.

Возьмем однородную сетку , где , заменяем p(x), q(x) и f(x) сеточными функциями .Производные заменяем конечно-разностными соотношениями .

Тогда после подстановки, линейное уравнение 2-го порядка и краевые условия будут иметь вид:

Где mi= -2 + pih, zi=1 - pih + qih2

Более точное решение при замене центральными разностями

Где li=2 + hpi, mi= -4 + 2h2qi, zi= 2 - pih

Вопрос 29. Аналитические методы решения задачи Коши для ОДУ.

(1)

Начальные условия (2)

Задача Коши это уравнения (1) и (2)

Метод последовательного дифференцирования

Предположим, что искомое частное решение разложимо в ряд Тейлора по степеням (вблизи точки ).

Решение будет выглядеть

n-ую производную находим и подставляем в (1)

Метод неопределенных коэффициентов

Применим для линейных дифференциальных уравнений на примере ДУ 2-го порядка

Предположим, что решение этого уравнения коэффициент  , разложимы в степенной ряд:

, где - коэффициенты которые нужно найти

Подставляем в наше уравнение

Два многочлена равны только в том случаи, если равны коэффициенты при одинаковых степенях

Далее последовательно определяем С