Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Государственный университет морского и речного флота имени адмирала »
Инструкция по использованию калькулятора
для расчетно-графических работ по дисциплине «Геометрия и алгебра»
Санкт-Петербург
2014 год
Оглавление
Постановка задачи 3 Введение 6 Реализация «Калькулятора» в программной среде Maple 7 Расчетно-графическое задание №1 8 Расчетно-графическое задание №2 9 Расчетно-графическое задание №3 12 Расчетно-графическое задание №4 18 Расчетно-графическое задание №5 20 Реализация «Калькулятора» в программной среде Matlab 22 Заключение 25Постановка задачи
В данном проекте представлено решение расчетно-графических заданий (РГЗ) в виде «Калькулятора» для проверки собственных знаний, реализованное в программной среде Maple и Matlab.
Задания к РГЗ представлены в Таблице 1.
Таблица 1
РГЗ № п/п | Тема | Расчетные задания | |
РГЗ №1 | «Матрицы, определители и системы линейных уравнений» | Решить матрицу: | Методом Крамера |
Методом Гаусса | |||
Матричным методом | |||
РГЗ №2 | «Векторная алгебра» | Написать разложение вектора | |
Коллинеарные ли векторы | |||
Найти косинус угла между векторами | |||
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах | |||
Компланарны ли векторы | |||
РГЗ №3 | «Аналитическая геометрия» | Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках | |
Найти расстояние от точки | |||
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку | |||
Найти угол между плоскостями. | |||
Найти координаты точки | |||
Пусть | |||
Написать канонические уравнения прямой. | |||
Найти точку пересечения прямой и плоскости. | |||
Найти точку | |||
РГЗ №4 | «Комплексные числа. Кольцо многочленов» | Представить в показательной и тригонометрической формах комплексное число z; вычислить zn. | |
Решить по формуле Кардана уравнение третьей степени. | |||
Решить уравнение четвёртой степени | |||
Пользуясь схемой Горнера, вычислить f(x0) | |||
Пользуясь алгоритмом Евклида подобрать полиномы u(x) и v(x). Так, чтобы f1(x)v(x)+f2(x)u(x)=d(x), где d(x) наибольший общий делитель f1(x) и f2(x). | |||
РГЗ №5 | «Линейные пространства и операторы» | Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов | |
Исследовать на линейную зависимость систему векторов. | |||
Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы. | |||
Найти координаты вектора | |||
Пусть | |||
Пусть | |||
Найти матрицу в базисе | |||
Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора. | |||
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы. | |||
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа. | |||
Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием. | |||
Исследовать кривую второго порядка и построить ее. |
по векторам 
.
и 
, построенные по векторам 
и 
?
и 
и 
?
и его высоту, опущенную из вершины 
на грань 
до плоскости, проходящей через точки 
.
перпендикулярно вектору 
.
, равноудаленной от точек 
и 
.
– коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точка 
принадлежит образу плоскости 
?
, симметричную точке 
относительно прямой (для вариантов 1 – 15) или плоскости (для вариантов 16 – 31).
и 
и произведение любого элемента 
на любое число 
?
в базисе 
, если он задан в базисе 
.
. Являются ли линейными следующие преобразования.
, 
, 
. Найти.
, где 
, 
, 
, если она задана в базисе 
.Введение
Данные расчетно-графические задания по дисциплине «Геометрия и алгебра» предназначены для направлений бакалавриата «Прикладная математика и информатика» и «Информационная безопасность». Калькулятор не показывает самого решения, а лишь выдает правильный результат, тем самым студент сам себя проверяет и закрепляет знания. Каждый студент при желании может ознакомиться с кодом. Для использования «Калькулятора» необходимо установить Maple и Matlab. Скачайте с раздела «РГЗ» установочные файлы и сам калькулятор. Установите программы и запустите файл в соответствующей программе, выберете нужное задание и введите данные для расчета.
Реализация «Калькулятора» в программной среде Maple
Откройте файл в Maple. Для того чтоб начать ввод данных необходимо запустить программу (см. рис.)
Затем необходимо выбрать из «Оглавления» нужное РГЗ.
Расчетно-графическое задание №1 «Матрицы, определители и системы линейных уравнений»
При выборе «РГЗ 1» откроется следующее окно:
Необходимо решить матрицу представленными тремя методами.
Внимание! Матрица вводится [[1,2,3],[4,5,6] …]]
Задание 1. Метод Крамера
Задание 2. Метод Гаусса
Для того чтоб рассчитать матрицу необходимо нажать на кнопку «Получить».
Задание 3. Матричный метод
Расчетно-графическое задание №2 «Векторная алгебра»
При выборе РГЗ №2 откроется следующее окно:
Нажмите на кнопку «Справка». Здесь представлены формулировки заданий в соответствии с кнопками из рисунка выше.
Для того чтобы вернуться к выбору заданий нажмите кнопку «Exit»
Задание 1. Написать разложение вектора x по векторам 
.
.
При выборе задания 1 в верхней части окна написано краткая формулировка задания.
Внимание! Вектор вводится [x1,x2,x3]
При нажатии кнопки «Получить» программа разложит вектор по базису, как и требуется в задании.
Задание 2. Коллинеарны ли векторы 
и 
, построенные по векторам a и b?
.
При нажатии кнопки «Получить» программа выдает нам ответ.
Задание 3. Найти косинус угла между векторами 
и 
.
Введем данные:
При получении результата:
Задание 5. Компланарны ли векторы 
и 
.
Введем данные векторов:
При получении результата:
Расчетно-графическое задание №3 «Аналитическая геометрия»
Задание 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 
и его высоту, опущенную из вершины 
на грань 
.
.
При получении результата:
Задание 7. Найти расстояние от точки 
до плоскости, проходящей через точки 
. 
При получении результата:
Задание 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору 
.
Задание 9. Найти угол между плоскостями.
Задание 10. Найти координаты точки 
, равноудаленной от точек 
и 
.
Задание 11. Пусть k – коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точка A принадлежит образу плоскости 
?
При получении результата:
Задание 12. Написать канонические уравнения прямой.
Задание 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
Найти точку пересечения прямой и плоскости.
Задание 14 (а). Найти точку 
, симметричную точке 
относительно прямой.
.
При получении результата:
Задание 14 (б). Найти точку 
, симметричную точке 
относительно плоскости.
Расчетно-графическое задание №4 «Комплексные числа. Кольцо многочленов»
При выборе РГЗ №4 открывается следующее окно, структура, как и в предыдущих РГЗ:
Задание 1. Представить в тригонометрической форме:
Ответ выдается в такой форме:
Задание 2. Решить уравнение третьей степени
Задание 3. Решить уравнение четвертой степени:
Задание 5. Пользуюсь алгоритмов Евклида подобрать полиномы:
Расчетно-графическое задание №5 «Линейные пространства и операторы»
В данном РГЗ представлены задания на самостоятельное исследование. Используйте справочную литературу. Структура РГЗ №5 не отличается от предыдущих.
Задание 2. Исследование на линейную зависимость:
Задание 4. Найти координаты вектора 
в базисе 
, если он задан в базисе 
.
Задание 7.
Задание 9 Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
Задание 11.
Реализация «Калькулятора» в программной среде Matlab
Откройте Matlab и запустите программную часть как показано на рисунке:
Реализация проекта «Калькулятор» в Matlab почти не отличается от Maple, поэтому подробно рассматривать решение заданий мы не будем.
Оглавление выглядит таким образом:
При нажатии кнопки «Справка» откроется следующее окно, где представлена справочная информация о синтаксисе ввода данных:
В РГЗ №1 ввод данных осуществляется следующим образом:
