Вопросы к экзамену по курсу «Алгебра и геометрия»
Направление 09.03.04 – Программная инженерия
Матрицы и их классификация. Простейшие операции над матрицами. Системы линейных уравнений. Общее и частное решение. Метод Гаусса решения СЛУ. Определители, правила их вычисления. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Метод Крамера решения систем линейных уравнений. Векторы и линейные операции над ними. Линейная независимость систем векторов. Базис. Координаты. Линейные операции над векторами в координатах. Деление отрезка в заданном отношении. Ортогональные проекции векторов. Свойства проекций. Скалярное произведение, его свойства и физические приложения. Вычисление скалярного произведения в координатах. Векторное произведение, его свойства. Вычисление векторного произведения в координатах. Геометрические и физические приложения векторного произведения. Смешанное произведение векторов, его свойства и приложения. Вычисление смешанного произведения в координатах. Полярная система координат. Описание растяжения и сдвига с помощью матриц. Преобразование поворота на плоскости. Виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Теорема о взаимном расположении прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Эллипс: определение, каноническое уравнение, свойства. Гипербола: определение, каноническое уравнение, свойства. Парабола: определение, каноническое уравнение, свойства. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Классификация кривых второго порядка. Виды уравнения прямой в пространстве. Виды уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости и от точки до прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение двух плоскостей, плоскости и прямой в пространстве. Поверхности вращения. Поверхности второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды, конус. Поверхности второго порядка: параболоиды, цилиндры, пары плоскостей. Линейное отображение и его матрица. Определитель как линейная кососимметричная функция. Свойства определителей. Ранг матрицы. Способы его нахождения. Теорема Кронекера–Капелли.
