Метод вспомогательного объема при решении геометрических задач

Метод  вспомогательного объема

при решении геометрических задач

Метод вспомогательного объема применяется при решении задач на нахождение углов между прямой и плоскостью или расстояние от точки до плоскости. Этот метод является более предпочтительным, чем «чисто геометрический» метод тем, что нет необходимости строить проекцию прямой на плоскость (что порой может быть достаточно затруднительно).

Задача 1.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S и основанием ABCD  длина стороны основания равна 2, а длина бокового ребра равна 5. Найти угол между прямой AC и плоскостью ASD.

Решение:

Пусть - расстояние от точки С до плоскости ASD, применим метод «вспомогательного объема», состоящий в том, что, объем V пирамиды CASD выражается двумя способами. С одной стороны, 3V=SABCD, а с другой стороны – 3V = SHSACD, где SH – высота пирамиды SABCD, см. рисунок.

Следовательно, d SASD= SHSACD,

Проведём вычисления. Так как сторона квадрата ABCD равна 2, то:

; , , , .

Пусть М – середина AD. Тогда SM – апофема боковой грани ASD и , . Отсюда,

Подставляя в формулу вычисленные значения: получаем, что . Отсюда находим, что

.

Задача 2.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 длина стороны основания равна 2, а длина бокового ребра равна 1. Найдите угол между прямой B1E1 и плоскостью AB1C1.

Решение:

Пусть d – расстояние от точки Е1 до плоскости AB1C1. Тогда искомый угол между прямой B1E1 и плоскостью AB1C1 можно найти из соотношения: . Составим выражение для нахождения длины d, вычисляя двумя способами объем V пирамиды , , (высотой пирамиды из точки к грани является ребро призмы, см рис.1). Из этих двух равенств следует, что .

Проведем вычисления.

Так как – равнобедренный треугольник с углом при вершине , равным 120, то , см. рис.2. Значит, . Поскольку – главная диагональ правильного шестиугольника, то Из по теореме Пифагора находим: , . Для площади имеем:

.

Чтобы найти площадь , найдем длину высоты AK из вершины A к стороне . Из точки K опустим перпендикуляр KN к плоскости основания призмы, см. рис.3. Заметим, что и ( по построению, а BC параллельна ). Из признака перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая BC перпендикулярна плоскости AKN, и, значит . Отсюда находим: (). Из по теореме Пифагора имеем: , . Итак, . Подставляя и в формулу, получаем:

.Итак, , .

Ответ: .

Задача 3.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S и основанием ABCDEF длина стороны основания равна 1,  а длина бокового ребра равна 3. Найдите угол между прямой AE и плоскостью SCD.

Решение:

. Пусть d – расстояние от точки B до SCD. ;

. , .

,

;

.

.

: .

Задача 4.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания равна 1, а высота равна 6. Найти расстояние от точки B1 до плоскости BF1C1.

Решение:

Пусть d – расстояние от B1 до плоскости BF1C1.

,

; 

Ответ:

Задача 5.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, в которой AB равно 5, SA равно 4, точка E – середина ребра SB. Найти угол между CE и SBD.

Решение:

Пусть d – расстояние от C  до плоскости SBD. 

,  т. к.

Ответ:

– учитель математики

гимназии-интерната №34 г. Нижнекамска