27.01.16 Тема «Геометрическая вероятность»
Не всегда бывает удобно для непосредственного подсчета вероятности использоватьклассическое определение вероятности (например, когда число исходов некоторого опыта бесконечно, как при выборе точки из отрезка и т. п.). Зачастую при этом используется другой метод - геометрический подход к определению вероятности.
Предположим, что случайное испытание можно представить как бросание произвольной точки наудачу в некоторую геометрическую область D (на прямой, плоскости или пространстве, в зависимости от задачи).
Элементарные исходы – это отдельные точки области D, любое событие – это некоторое подмножество этой области (фактически - пространства элементарных исходов). Можно считать, что все точки D "равноправны", и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество этой области пропорциональна мере (длине, площади, объему) подмножества и не зависит от его расположения внутри области и формы. Таким образом приходим к геометрическому определению вероятности.
Геометрическая вероятность некоторого события А определяется формулой: 
Здесь 
– геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и множества исходов, благоприятствующих осуществлению события А.
Пример 1. Мишень для выстрелов в тире представляет собой круг радиуса R. Стрелок выбивает 10 очков, если попадает в малый круг в центре с радиусом r, 
Какова вероятность выбить 10 очков при одном выстреле?
Решение. Используем геометрическое определение вероятности. Множество всех элементарных исходов - мишень, круг радиуса R, его площадь равна 
. Множество элементарных исходов, соответствующих событию "Выбито 10 очков" - это круг радиуса rего площадь равна 
.
По геометрическому определению вероятности получаем, что искомая вероятность есть отношение площади малого круга, куда пуля должна попасть, к площади всей мишени - большого круга, то есть: 
.
Пример 2.
В квадрат со стороной а = 30 см случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность Р того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее, чем в r = 3 см от центра квадрата.
Решение
Задача интересная в том плане, что здесь также используется понятие геометрической вероятности (см. выше на этой же странице).
Считаем, что точка с одинаковой вероятностью может попасть в любую область квадрата. Геометрическая вероятность находится как отношение площадей областей. Вероятность попасть в правую верхнюю четверть квадрата: Р(А) = 1/4.
Вероятность попасть в круг радиусом r = 3:
Вероятность попасть в правую верхнюю четверть круга:
Вероятность попасть хотя бы в одну из этих областей:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
1. Посмотрите презентацию, посвященную этой теме (перед тем как открывать ответы к задачам, попробуйте их решить).
https://yadi. sk/d/Para8bhXnqx3m
2. Самостоятельная работа (можно не все, «5»- 5 задач, «2»-2 задачи)
Задача 1. В прямоугольник 5*4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга? Ответ округлите до стотых.
Задача 2. В окружность вписан квадрат ABCD. На этой окружности случайным образом выбирается точка М. Найдите вероятность того, что эта точка лежит на: а) меньшей дуге АВ; б) большей дуге АВ.
Задача 3. Точку наудачу бросают вквадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ј?
Задача 4. Согласно правилам дорожного движения, пешеход может перейти улицу в неустановленном месте, если в пределах видимости нет пешеходных переходов. В городе Миргороде расстояние между пешеходными переходами на улице Солнечной равно 1 км. Пешеход переходит улицу Солнечную где-то между двумя переходами. Он может видеть знак перехода не дальше чем за100 м от себя. Найдите вероятность того, что пешеход не нарушает правила.
Задача 5. Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.
Задача 6. Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка [0;1], принадлежит отрезку 
.Ответ округлите до стотых.
Задача 7. Поезд проходит мимо платформы за полминуты. В какой-то момент, совершенно случайно выглянув из своего купе в окно, Иван Иванович увидел, что поезд идет мимо платформы. Иван Иванович смотрел в окно ровно 10 секунд, а затем отвернулся. Найдите вероятность того, что он видел Ивана Никифоровича, который стоял ровно посередине платформы. Ответ округлите до стотых.
Задача 8. Про село Иваново известно только, что оно находится где-то на шоссе между Миргородом и Старгородом. Длина шоссе равна 200 км. Найдите вероятность того, что:
а) от Миргорода до Иваново по шоссе меньше 20 км;
б) от Старгорода до Иваново по шоссе больше 130 км;
в) Иваново находится менее чем в 5 км от середины пути между городами.
4. Решения и ответы пришлите на почту *****@***ru или в Контакте https:///id17755289 . На своем решении обязательно пишите дату, фамилию и класс.
