Задачи

По кинематике твердого тела


. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону ц = Аt –Вt3, где А = 6 рад/с, В = 2 рад/с3. Найти а) средние значения угловой скорости и углового ускорения до остановки тела, б) угловое ускорение в момент остановки тела. 

(Ответ: а) <Щ>=2А/3=4 рад/с, <е>=-(3АВ)1/2=-6 рад/с2, б) е=-2(3АВ)1/2=-12 рад/с2).

Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, замедляясь с угловым ускорением е ~ Щ1/2. Найти среднее значение угловой скорости до остановки тела, если в начальный момент времени Щ=Щo. (Ответ: <Щ>=Щo/3). Диск радиуса R катится с постоянной скоростью vc по горизонтальной плоскости без скольжения. Изобразить поле скоростей на диске в данный момент времени. Обсудить полученный результат. Найти закон движения точки В диска (рис. ), предполагая что в момент t = 0, она находится в начале координатной системы. Какова траектория движения точки? Какой путь проходит точка между двумя соприкосновениями с поверхностью?

(Ответ: x =R(Щt-sinЩt), y=R(1-cosЩt), где Щ=vc/R. Траектория – циклоида, 8R)

По вычислению моментов инерции тел.

Вычислить главные моменты инерции a) однородного стержня длины и массы , б) тонкой однородной пластинки размерами и массы .

(Ответ: а) )

Вычислить моменты инерции относительно осей симметрии a) тонкого проволочного кольца, б) однородного диска, с) однородного сплошного конуса.

Радиусы кольца, диска, основания конуса равны R, массы - .

(Ответ: а) б) c))

Однородный диск радиуса R имеет круглый вырез (рис. ). Найти момент инерции такого диска относительно перпендикулярной оси, проходящей: а) через точку О; б) через его центр инерции. Масса диска с вырезом - .

(Ответ: ).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
Найти главный момент инерции однородного сплошного шара радиуса R и массы .

(Ответ: ).

Найти главные моменты инерции сплошного цилиндра длины , радиуса R и массы .

(Ответ: ).

По динамике твердого тела

На однородный сплошной цилиндр массы M и радиуса R намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы . Цилиндр может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Найти зависимость от времени угловой скорости цилиндра и кинетической энергии системы.

(Ответ: ).

Однородный цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости Щ0 и поместили в угол (рис. ). Сколько оборотов сделает цилиндр до остановки, если коэффициент трения со стенками равен м? (Ответ: n=(1+м2)Щ02R/8рм(1+м)g). Однородную шайбу радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости Щ0 и положили на горизонтальную поверхность. Через какое время остановится шайба, если коэффициент трения равен м? (Ответ: t = 3Щ0R/4мg). Вертикально расположенный однородный стержень массы М и длины L может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально летевшая пуля массы m, в результате чего стержень отклонился на угол б. Считая m<<M, найти: а) скорость летевшей пули; б) приращение импульса системы за время удара (какова причина его изменения?); в) на какое расстояние x от верхнего конца стержня должна попасть пуля, чтобы импульс системы не изменился? (Ответ: а) v=(2M2gL/3m2)1/2sin(б/2); б) Др=M(gL/6)sin(б/2); в) х=2L/3). Сплошному однородному цилиндру массы m и радиуса R сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростьюЩ0, затем положили на горизонтальную плоскость. Найти: а) время, в течение которого движение будет со скольжением; б) работу силы трения скольжения. Коэффициент трения равен м.

(Ответ: а) t=Щ0R/3мg; б) А=-mЩ02R2/6).

Решите предыдущую задачу с другим начальным условием, когда в начальный момент цилиндру сообщается поступательное движение со скоростью v0с.

(Ответ: а) t = v0/3мg; б) А=-mv02/6).

Сплошной однородный цилиндр радиуса R катится без скольжения по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол б с горизонтом (под наклон). Найти максимальную скорость цилиндра, при котором переход в наклонную плоскость произойдет без скачка. (Ответ: vm2=gR(7соsб-4)/3). На горизонтальной плоскости лежит катушка ниток массы m и моментом инерции I=kmR2, где k числовой коэффициент (радиус инерции), R – внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен r. Катушку без скольжения начали тянуть за нить с постоянной силой F, направленной под углом б к горизонту. Найти ускорение оси катушки, и работу силы F за первые t секунд движения.

(Ответ: а=F(соsб-r/R)/m(1+k); А= F2 t2(соsб-r/R)2/2m(1+k)).

Однородный шар радиуса R и массы m положен на наклонную плоскость с углом наклона б. При каких значениях б качение шара будет происходить без скольжения? Какова при этом сила трения сцепления?

(Ответ: tgб < м(1+mR2/Iс); Fсц= mgsinб/(1+mR2/Iс); где Iс=2mR2/5)

Определить ускорение, с которым цилиндрическая бочка массы М, целиком наполненная жидкостью массы m, скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей угол б с горизонтом. Трением между жидкостью и стенками бочки пренебречь.

(Ответ: a=(M+m)gsinб /(2M+m))

По наклонной плоскости, образующей угол б с горизонтом, скатывается полый цилиндр массы М и радиуса R. По поверхности цилиндра бежит собака массы m таким образом, что все время занимает наивысшее положение на поверхности цилиндра. Определить ускорение оси цилиндра. (Ответ: a=(M+m)gsinб /(2M+m(1+cosб)))

13.21. Шарик массой m1= 60 г, пр ив язанный к концу нити длиной L1=l ,2 м, враща ется с частотой ν1=2 c-1, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачива­ется, приближая шарик к оси до расстояния L2=0,6 м. С какой частотой ν2 буд ет при этом вращаться шарик? Какую работу сов ерш ает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость прен ебр ечь.

13.22. По касат ельной к шкиву маховик а в виде диска диаметром D =7 5 см и массой m=40 кг приложена с ила F=1 кН. Определить угловое ускор ение и час­тот у вра щения махо вика через время t=10 с после начала действия силы, если радиус R шкива равен 12 см. С илой трен ия прен ебр ечь.

13.23. На обод маховика диаметром D=60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m= 2 кг. Опр еделить момент инерции J маховика, если он, вра­щаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t= 3 с приобрел угловую скорость ω=9рад/с.

13.24. Нить с привязанными к ее концам грузами мас­сами m1= 50 г и m2 = 60 г перекинута через блок диа­метром D = 4 см. Определить момент ин ерции J блока, если под действием силы тяжести грузов он получ ил угло­вое ускорение ε = 1,5 рад/с2. Трением и проскальзыванием нити по блоку пренебречь.

13.25. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину, согласно уравнению φ = A⋅t + B⋅t3, где А = 2 рад/с, В = 0,2 рад/с3. Определить вращающий момент, действующий на стержень через вр емя t = 2 с, после начала вращения, если момент ине рц ии стержня J = 0,048 кг⋅ м2.

13.26. По гор изонтальной плоскости катится диск со скоростью v=8 м/с. Определить коэффиц иент сопротивления, если диск, будучи предоставлен ным самому себе, останов ился, пройдя путь s = 18 м.

13.27. Определить момент силы, который необходимо прилож ить к блоку, вращающем уся с частотой ν = 12 с-1, чтобы он останов ился в течение времени Δt= 8 с. Диаметр блока D = 30 см. Массу блока m= 6 кг считать равномерно распред еленной по ободу.

13.28. Бло к, имеющий форму диска массой m= 0,4 кг, вращается под д ействием силы натяж ения нити, к кон цам которой подвешены грузы массами m1 = 0.3 кг и m2 = 0,7 кг. Определить силы натяжения нити по обе стороны блока.

13.29. К краю стола прикрепл ен блок. Ч ер ез блок пе­р екинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены гр узы. Один груз д вижется по по­верхности стола , а др угой – вдоль вертикали вниз. Опр ед елить коэффициент трения между поверхностями гр уза и стола , если массы каждого груза и масса блока одинако вы и гр узы движутся с ускорением а = 5, 6 м/с 2. Проскальзыванием нити по блоку и с ил ой трения, действующей на блок, пренебр ечь.

130. К концам л егкой и нер астяжимой н ити, перекинутой через блок, подв ешены грузы массами m1=  0,2 кг и m2= 0,3 кг. Во сколько раз отличаются силы, действующие на нить по обе ст ороны от блока , если масса блока m= 0.4 кг, а его ось дв ижется вертикально вверх с ускорением а = 2 м/с 2? Силами трения и проскальзывания нити по блоку пр енебр ечь.