§1 Расстояние от точки до плоскости (стр. 2 )

Расстояние от точки до грани равно высоте пирамиды с основанием и вершиной . Тогда    (куб. ед.)

       Приведенный метод нахождения расстояния от точки до плоскости позволяют решать подобного рода задачи без построения на рисунках тех перпендикуляров, длины которых равны искомым расстояниям от точек до соответствующих плоскостей.

       Многие задачи на нахождение расстояний в пространстве состоят в нахождении расстояния от некоторой точки , не лежащей в плоскости , до фигуры , лежащей в этой плоскости. Для решения задач такого рода удобно применять следующий прием:

опустим из точки  на плоскость перпендикуляр   ( – расстояние от точки до плоскости ).

       Если точка принадлежит фигуре , то расстояние от точки до фигуры   равно .

       Если  же точка не принадлежит фигуре , то мы находим на фигуре точку , ближайшую к  . Тогда расстояние от точки до фигуры равно длине отрезка , то есть  .(рис.3)

Действительно, так как – точка фигуры , ближайшая к точке , то , для любой точки фигуры . Согласно теореме Пифагора, получаем  , , так как , то .

Рис.

       Рассмотрим следующую задачу

Пример 2.2

Из вершины равностороннего треугольника , сторона которого равна , к его плоскости проведен перпендикуляр , длина которого равна . Найдите расстояние от точки до прямой  .(рис.4)

Решение.

Так как расстояние от точки до прямой равно высоте треугольника   и равно , то расстояние от точки до прямой равно .

§ 2. Приложение свойств объема к решению задач