§1 Расстояние от точки до плоскости (стр. 4 )

Рассмотрим применение выше изложенной теории к решению задач.

Пример 2.3. В тетраэдре через точки на ребре , на ребре и точку проведено сечение , площадь которого равна 6 м2. Объем тетраэдра равен 30 м3. Найдите расстояние от точки до плоскости (рис. 29).

Решение. Найдем объем пирамиды , используя теорему 1. Так как , , , то (м3). Расстояние от точки до плоскости равно высоте пирамиды . Зная объем пирамиды и площадь основания найдем высоту : ,

Ответ. 2 м.

Пример 2.4. На ребрах и тетраэдра взяты точки и так, что , . В каком отношении плоскость, проходящая через и середину , делит отрезок ?

Решение. Пусть середина отрезка , - точка пересечения отрезка с плоскостью (рис. 30). Тогда . , где - расстояние от точки до грани . Пусть - расстояние от точки до грани . Очевидно, что . Найдем объем всей пирамиды: и пирамиды . Так как , , то .

Аналогично находим объем ; . Расстояние от точки до грани равно , где - расстояние от точки до грани . Следовательно, и .

Ответ. .

Пример 2.5. В основании пирамиды лежит параллелограмм . Точка - середина ребра , точка - середина ребра , точка делит ребро в отношении 2:5, считая от . Объем тетраэдра равен 1 м3. Найдите объем пирамиды (рис. 31).

Решение. Пирамиду разобьем на две треугольные пирамиды и . Тогда объем пирамиды равен объему пирамиды и равен . Так как , , , то . По условию м3, следовательно м3.

При  решении  некоторых  задач  полезно следующее замечание:

Если прямую призму вписана пирамида таким образом, что одна из граней пирамиды лежит в грани данного параллелепипеда, то задачу целесообразно решать  путём разбиения пирамиды на треугольные пирамиды  и решение свести  к нахождению объёма пирамиды, одна из граней которой лежит в грани прямой призмы (параллелепипеда).

  Пример  2.6.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро А1  равно 12. Через вершину А и С1 призмы проведена плоскость, пересекающая боковое ребро ВВ1  в точке К, а боковое ребро DD1 в точке L. Найдите объём  пирамиды  A1AKС1 L.

Решение.

Пусть  L-  некоторая точка ребра  DD1 . Тогда  А L  и LС1  - следы плоскости сечений.  Так как параллельные плоскости пересекаются по параллельным прямым, то сечение  AKС1 L  - параллелограмм, где К - точка на ребре  ВВ1. Пирамиду A1AKС1 L  разобьём диагональным сечением A1KL на две треугольные пирамиды. Так как 
и высоты пирамид  равны, то .