§1 Расстояние от точки до плоскости (стр. 3 )

Получим несколько формул, удобных для вычисления объемов некоторых многогранников. Одной из основных опорных задач является следующая теорема.

Теорема 1. Плоскость пересекает боковые ребра произвольной треугольной пирамиды в точках так, что , , , где положительные числа, меньше 1. Доказать, что объем отсекаемой пирамиды связан с объемом данной пирамиды соотношением: .

Доказательство. Возьмем за основание пирамиды грань (рис. 25). Как известно . Пусть , , где - основания перпендикуляров, опущенных на плоскость . Точки лежат на одной прямой, так как и - перпендикулярны одной плоскости и . Следовательно, , то есть . Найдем объем пирамиды :

.

Теорема 2. Пусть - площадь одной из боковых граней треугольной призмы, - расстояние от противоположного ребра до этой грани. Тогда объем этой призмы может быть найден по формуле .

Доказательство. Достроим треугольную призму до параллелепипеда (рис. 26). Пусть - площадь грани и - расстояние от ребра до этой грани. Объем призмы равен половине объема параллелепипеда. Если взять грань за основание параллелепипеда, то его объем равен и, следовательно, .

Теорема 3. Объем описанного многогранника может быть вычислен по формуле , где - радиус вписанного шара, - площадь полной поверхности многогранника.

Доказательство. Соединим центр вписанного шара со всеми вершинами многогранника. Многогранник окажется разделенным на пирамид, где - число граней многогранника. Основаниями каждой пирамиды является соответствующая грань многогранника, а вершиной – центр шара. Объем каждой такой пирамиды равен , где - площадь соответствующей грани. Объем многогранника равен сумме объемов полученных пирамид: . Сумма площадей всех граней равна площади полной поверхности многогранника. Следовательно, , что и требовалось доказать.

Теорема 4. Вычисление объема тетраэдра через два противоположных ребра, расстояние и угол между ними.

Пусть и - длины двух противоположных ребер тетраэдра, - расстояние, - угол между ними. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле: .

Доказательство. Рассмотрим тетраэдр (рис. 27). Пусть и - противоположные ребра расстояние между которыми равно , а угол равен . Достроим тетраэдр до параллелепипеда , проведя через каждое ребро плоскость параллельную противоположному ребру. Площади граней и равны , расстояние между ними равно и равно высоте параллелепипеда. Следовательно, объем параллелепипеда равен . Объем треугольной пирамиды равен объема параллелепипеда. Объем тетраэдра получается из объема параллелепипеда вычитанием объемов четырех таких пирамид и, следовательно равен объема параллелепипеда, то есть .

Следствие. Если два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны и расстояние между ними равно , то объем тетраэдра вычисляется по формуле , где и - длины данных ребер.

При изучении метода площадей был рассмотрен прием, состоящий в замене отношения отрезков отношением соответствующих площадей. При обобщении на трехмерный случай иногда отношение отрезков полезно заменить на отношение объемов. Например, если точки и расположены по разные стороны от плоскости треугольника , то отношение в котором плоскость делит отрезок , равно отношению объемов двух пирамид и (рис. 28). Это следует из того факта, что пирамиды имеют общее основание, отношение их объемов равно отношению высот и . Если - точка пересечения с плоскостью , то в силу того, что .