Прогрессио - движение вперёд Урок решения комбинированных задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Муниципальное общеобразовательное учреждение Гимназия №1

Прогрессио – движение вперёд

Урок  решения комбинированных задач

по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

(алгебра 9 класс)

Г. Лыткарино 2014-2015 учебный год

«Прогрессио – движение вперёд»

«Прогрессио – движение вперёд» - урок комбинированных задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», алгебра 9 класс

Цели урока: повторение и обобщение изученного  материала  путём решения комбинированных задач;  развитие познавательного интереса к математике.

Задачи:

Образовательные:

- совершенствовать навыки решения разнообразных задач по использованию формул  арифметической и геометрической прогрессий;

- применять свои знания в практических ситуациях;

-расширять знания учащихся путём решения нестандартных задач;

Развивающие:

- развивать математический кругозор, мышление, математическую речь;

Воспитательные:

-воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию;  воспитывать чувство прекрасного;

-формировать отношения взаимной ответственности при совместной работе;

Тип урока: отработка умений и навыков, применение знаний при решении комбинированных задач.

Форма проведения: личное соревнование с использованием презентации. 

Длительность : 2 учебных часа.

К уроку прилагается презентация. ppt

Эпиграф урока.

Закончился 20-ый век.

Куда стремится человек?

Изучены космос и море,

Строенье звёзд и вся Земля.

Но математиков зовёт

Известный лозунг:

«Прогрессио – движение вперёд».

Схема урока

Й. Организационный момент. 

II. Сценка «Мужик и купец».

III. Сообщение темы и целей урока.

I V. Устная работа

1. Считают «мужик» и «купец» 

2. Найди ошибку

V. Работа с формулами.

VI.  Практическая часть урока.

1.Комбинированная задача.

2. Комбинированное неравенство.

VII. Проверка  творческого домашнего задания.

VIII. Краткие исторические сведения.

IX. Практическая часть.

3. Комбинированное уравнение.

4. Построить график функции.

5. Логическая задача.

X. Индивидуальная работа (тест)

XЙ. Подведение итогов.

XЙЙ. Выставление оценок.

XЙЙЙ. Творческое домашнее задание.

ХОД УРОКА. 

Й. Организационный момент. 

(Стол. На столе – самовар; у окна сидит купчиха. Входит купец )

Купец: Послушай, жена! На базаре я встретил глупого мужика и заключил с ним выгодную сделку.

Жена: Какую?

Купец: Он каждый день будет приносить мне по 100 000 рублей, а я ему в первый день отдам копейку. Ты слышишь, копейку за 100 000 рублей. Во второй день за 100 000- две копейки, в третий - 4 копейки и так целый месяц. А он мне целый месяц будет носить каждый день по 100 000 рублей!

Жена: Откуда у этого глупца столько денег?

Купец: Это не наше дело. Об одном жалею, что заключил договор только на 1 месяц. Боюсь, что этот чудак поймёт, что его обманывают, и не принесёт свои деньги.

(Раздаётся стук.  Жена выглядывает в окно.)

Жена: Там кто-то пришел!

Купец: Это он.  (Входит мужик)

Мужик: Получай, купец, свои деньги и отдай мою копейку. (Взяв копейку, уходит)

Купец: Как я боялся, что он не придёт! А вдруг завтра он не придёт? Или придёт и заберёт свои деньги?

Жена: Успокойся! Если он сегодня не понял, что его обманывают, не думаю, что он поймёт это завтра. Говорят же: «Если дурак, то надолго».

Купец: Так-то оно так, да всё равно боязно. 

Ведущий: Каждый день мужик приносил по 100 000 рублей и забирал свои копейки. Вначале купец радовался и не задумывался над тем, сколько он отдаёт мужику. На 24 день он отдал уже более 83000 рублей.

Купец: О горе мне, горе! Мужик оказался не так глуп! Какой я глупец! Разве можно заключать сделки на базаре!

Ведущий: Видите, ребята, сколь неожиданными бывают результаты, когда не знаешь математику. Вероятно, купец не оказался бы в безвыходном положении, знай он хоть чуть-чуть математику.

III. Сообщение темы и целей урока.

«Так о чём же, ребята, пойдёт сегодня речь?»

Конечно о прогрессиях.  Но встретим мы её в комбинированных нестандартных задачах. Сегодня мы должны обобщить и систематизировать знания и умения, приобретённые при изучении  прогрессий, а также вспомнить, насколько математика может быть занимательной. Нам предстоит поработать и с формулами, вспомнить, как решаются уравнения и строятся графики, посадить «волшебное дерево» и услышать исторические факты, решить задачу и написать тест. 

А вот почему же в конце месяца купец посчитал себя глупцом?

Сколько пришлось заплатить каждому?

I V. Устная работа

1.Считают «мужик» и «купец» 

«Мужик» заплатил :  S30 = 100 000∙ 30 = 3 000 000рублей.

«Купец» заплатил : 1; 2; 4;…  q=2/1=2.

S30 =1∙ (230  - 1):(2-1)= 2 30 -1=1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 коп.=

= 10 738 418 руб.23коп

2.Найди ошибку.(Текст решения на слайде)

В то время пока двое подсчитывают суммы, следующий ученик комментирует решение и находит ошибку в решенном неравенстве:

х2+ х(-1-1/2-1/4-…) – 8 < 0,

Имеем в скобках сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая равна  S=1/(1-1/2)=2, и  тогда неравенство приобретает вид 

х2 -2x -8 <0.

Рассмотрим функцию у = х2 -2х -8. График парабола, «ветви» вверх, т. к. а=1, 1>0.

Нули функции: 4; -2.

Построим параболу схематично:

Ответ: (-2;4).

V. Работа с формулами.

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».

Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера.

восприятие речи на слух. Проговариваю название формулы один раз, а учащиеся пишут номер формулы (двое у доски, остальные под копирку на листочках, повернувшись так, чтобы работать спиной к доске).

Вопросы к формулам

1.Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. 

2.Формула n-го члена арифметической прогрессии.

3.Сумма n-первых членов арифметической прогрессии.

4.Сумма n-первых членов геометрической прогрессии.

5.Формула n-го члена геометрической прогрессии.

6.Свойство членов арифметической прогрессии.

7.Свойство членов геометрической прогрессии.

8.Знаменатель геометрической прогрессии.

9.Разность арифметической прогрессии.

Формулы.

1. an = a1 + ( n-1)d

2. bn = b1∙ qn-1 

3. Sn.

4. Sn =

5. S =.

6. an = .

7. bn=

8. d = an + 1 – an.

9. q =  

Листочки с каждого ряда собирает дежурный помощник. Выполняется проверка по коду.

Получили 9-значное число  513 426 798.

Это КОД  ОТВЕТА.

VI.  Практическая часть урока.

«Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому можно лишь, подражая избранным образцам и постоянно тренируясь»,- говорил Д. Пойа.

1.Задача. Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 27, а при уменьшении первого числа на  1, уменьшении  второго на 3 и при увеличении третьего на 3, получили геометрическую прогрессию.

Дано: а1+а2 +а3=27 –сумма трёх членов арифметической прогрессии; а1-1; а2 -3; а3+3- геометрическая прогрессия.

Найти: а1; а2;  а3.

Решение.  ,  , 

  q  =   

  =9 – d, 

    (8 - d)(d + 12)=36.

d2 +4d-60=0,

d1=6,  d2=-10.

Если  d1=6, то ; .

Если  d2=-10, то ; .

Ответ:  если арифметическая прогрессия 3; 9; 15, то геометрическая прогрессия 2; 6; 18.

Если арифметическая прогрессия 19; 9; -1, то геометрическая прогрессия 18; 6; 2.

Нестандартные  комбинированные задачи по теме «Прогрессии» мы можем встретить и при решении уравнений, неравенств, при построении графиков функций.

2. Решите неравенство:

(3х+)() > 0.

  6-слагаемых  6-слагаемых

Двое учащихся упрощают скобки в данном неравенстве. Сумма 6-ти слагаемых арифметической прогрессии равна (-18) . Сумма 6-ти слагаемых геометрической  прогрессии равна 126.

Неравенство перепишется в виде : (3х-18)(х+126)>0.

Третий ученик решает его методом интервалов.

Ответ: (-  ∞; -126) U  (6; +  ∞).

VII. Проверка  творческого домашнего задания.

Мы знаем легенду об изобретателе шахмат, которая гласит, что изобретатель шахмат Сета попросил у индусского царя Шерам за своё изобретение столько пшеничных зёрен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в два раза  больше, т. е. 2 зерна, на третью – ещё в два раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Одно из домашних заданий заключалось в том, чтобы посчитать современными способами и записать, сколько зёрен должен был получить изобретатель шахмат?

S64 = 264 – 1 = 18 446 744 073 709 551 615.

18 квинтильонов  446 квадрильонов  744 триллиона 73 миллиарда (биллиона) 709миллионов  551 тысяча 615.

Современники сказали бы так:

S64 = 1, 84∙ 10 19 – стандартный вид данного числа.

Если бы индусскому царю Шерам удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный результат, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

Мы ещё посмотрели сценку о мужике и купце. А когда же стали встречаться первые упоминания о прогрессиях?

VIII. Сообщаются краткие исторические сведения, приготовленные учащимися.

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко 2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным.

Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге  абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи. А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», увидевшей свет  в 1484 году.

IX. Практическая часть (продолжение).

Великому Эйнштейну приходилось делить время между политикой и уравнениями. Он говорил: «Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

3. Итак, уравнение, содержащее прогрессию.

х2  -3 |х | = 2+1+1/2+…

Решение: S= 2/(1-1/2)=4.

Уравнение приобретает вид  х2  -3 |х | -4=0.

1) Если х ≥  0, то х2  -3х  - 4 =0. Его корни 4 и -1;

  х= -1 не удовлетворяет условию х ≥  0.

2) Если х < 0, то х2  +3х  - 4=0. Его корни -4 и 1;

  х=1 не удовлетворяет условию х < 0.

Ответ: 4; - 4. 

4. Построить график функции:

  у = .  Решение.  1+sin30+sin2 30+sin3 30+...=1+1/2+1/4+1/8+...- сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т. к. q=1/2.

S= 1/(1-1/2)=2.

Функция приобретает вид:  1) у = х +2, если х > 0

2) у = х - 2, если х < 0.

Область определения х ≠0. У доски работают 2 ученика, каждый строит свою часть графика.

В нашей школе стало  традицией: выпускники школы, заложив однажды «аллею выпускников»,  продолжают эту традицию каждую новую весну.

Но пока ещё зима, самое время посадить «волшебное дерево».

5. Логическая задача.

Волшебное дерево, первоначальная высота которого 1 м, каждый день увеличивает свою высоту в 2 раза. При этом через 36 дней оно  «достанет» до Луны. Через сколько дней оно достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8м?

Решение: через 33 дня. Один день-2м. Два дня-4м. Три дня-8м.  36-3=33 дня.

X. Индивидуальная работа.

В этом году вы принимаете эстафетную палочку от 11 классов и тоже сдаёте свой экзамен по алгебре в форме тестов ЕГЭ. Следующий тест позволит проверить вашу готовность к нему по теме  « Прогрессии». (Текст теста по вариантам ).

Решается тест в тетради, записывается в тетради номер ответа, тесты учащиеся сдают и выполняется проверка по коду. Привожу пример теста.

  Вариант 1.

1.  (аn )-арифметическая прогрессия, а1 =10; d = - 0,1. Найди а4  .

9,7  2) 97  3) -97  4) 10,3  5) – 10,3

2. В геометрической прогрессии b1  ; b2  ; 4; 8;…. Найди b1  .

1)- 4  2) 1  3) 1/4  4) 1/8  5) – 1

3. (bn  ) – геометрическая прогрессия. Найди b6  , если  b1  = 4; q = 1/2

- 1/8  2) 1,25  3) 1/8  4)12,5  5) – 1,25

4. Найди сумму бесконечной геометрической прогрессии 12;6;…

  1) 6  2) - 12  3) -24  4) 24  5)  12

5.  Представь  в виде  обыкновенной  дроби  число  0, (1).

1) 9  2) 11/9  3) -1/9  4) - 9  5) 1/9

6. Найди сумму 100 – первых членов последовательности (x n ), если  x n  =2n +1.

  1)10200  2) 20400  3)1200  4) 102  5) 1020

7. Найди  S4  ,  (bn  ) – геометрическая прогрессия и  b1  = = 1, q = 3.

  1) 81  2) 40  3) 80  4) -80  5) – 40

Код  ответов 1234542

XЙ. Подведение итогов.

Итак, сегодня мы в нестандартных  комбинированных заданиях  обобщили и систематизировали знания и умения, приобретённые при изучении  прогрессий, , поработали с формулами, вспомнили, как решаются уравнения и строятся графики, встретились с занимательной математикой и посадили «волшебное дерево» при решении занимательной логической задачи, услышали исторические факты, решили задачу и написали тест. (Итоги подводят ученики)

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут.

XЙЙ. Выставление оценок.

За работу с формулами и тестом каждый учащийся получает оценки в журнал. Дополнительные оценки получают те, кто был активен на уроке. 

XЙЙЙ. Домашнее задание - творческое: составить 3 комбинированных задачи по теме «Прогрессии»  и их решения оформить на  альбомном листе.